旋转矩阵公式推导

1.在二维平面中：如下图所示，在xoyxoy平面中有一向量op⃗ =(x,y)Top⃗=(x,y)T，旋转ϕϕ角后变为向量op⃗ ′=(x′,y′)Top⃗′=(x′,y′)T。
　　

 

　　据图可得：x=|op⃗ |cosθ；y=|op⃗ |sinθx=|op⃗|cosθ；y=|op⃗|sinθ，经旋转ϕϕ角后有:
　　x′=|op⃗ |cos(θ+ϕ)=|op⃗ |(cosθcosϕ−sinθsinϕ)=xcosϕ−ysinϕx′=|op⃗|cos(θ+ϕ)=|op⃗|(cos⁡θcos⁡ϕ−sin⁡θsin⁡ϕ)=xcos⁡ϕ−ysin⁡ϕ
　　y′=|op⃗ |sin(θ+ϕ)=|op⃗ |(sinθcosϕ+cosθsinϕ)=xsinϕ+ycosϕ；y′=|op⃗|sin(θ+ϕ)=|op⃗|(sin⁡θcos⁡ϕ+cos⁡θsin⁡ϕ)=xsin⁡ϕ+ycos⁡ϕ；
写成矩阵形式：
　　(x′y′)=(cosϕsinϕ−sinϕcosϕ)(xy)(x′y′)=(cos⁡ϕ−sin⁡ϕsin⁡ϕcos⁡ϕ)(xy)
　　2.在三维空间中：如下图所示，若以坐标系的三个坐标轴X、Y、Z分别作为旋转轴，则点实际上只在垂直坐标轴的平面上作二维旋转。

　　例： op⃗ op⃗绕X轴旋转ϕϕ角，有：
旋转前：
旋转后：
写成矩阵形式：
则绕X轴旋ϕ角的旋转矩阵为： Rx(ϕ)=（1000cosϕ−sinϕ0sinϕcosϕ）Rx(ϕ)=（1000cos⁡ϕsin⁡ϕ0−sin⁡ϕcos⁡ϕ）
同理可得绕X、Y、Z轴旋转的不同角度的旋转矩阵（方向余弦矩阵）分别为：

　　最后，若op⃗ op⃗绕某一定轴旋转，从欧拉定律中可知，绕着固定轴做一个角值的旋转，可以被视为分别以坐标系的三个坐标轴X、Y、Z作为旋转轴的旋转的叠加。
---------------------
作者：stdEnable
来源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/u012763833/article/details/52605747
版权声明：本文为博主原创文章，转载请附上博文链接！