常見的概率分布類型（二）（Probability Distribution II）

以下是幾種常見的離散型概率分布和連續型概率分布類型：

 

伯努利分布（Bernoulli Distribution）：常稱為0-1分布，即它的隨機變量只取值0或者1。

 

伯努利試驗是單次隨機試驗，只有"成功"（1）或"失敗"（0）這兩種結果。假如某次伯努利實驗成功的概率為p，失敗的概率為q=1-p，那么實驗成功或失敗的概率可以寫成：。

 

 

伯努利分布的期望：

伯努利分布的方差：

 

二項分布（Binomial Distribution）：用以描述n次獨立的伯努利實驗中有x次成功的概率。

 

假如每次伯努利實驗成功的概率為p，失敗的概率為q=1-p，那么n次獨立的伯努利實驗中有x次成功的概率是：。這就是二項分布的概率質量函數。

 

 

二項分布的期望：E(x)=μ=np

二項分布的方差：Var(x)=σ²=npq

 

最常見的二項分布問題就是多次投硬幣：投擲10次均勻的硬幣，其中恰好有5次正面朝上的概率是多少？

                                                                 投擲10次均勻的硬幣，其中至少有8次正面朝上的概率是多少？

 

當n>50，p<0.1時，二項分布可以轉換成泊松分布。

當np>5以及nq>5時，二項分布可以轉換成正態分布。但是由於正態分布是連續變量，所以需要加一個continuity correction，例如：P(x<=a)--->P(x<a+0.5)。

 

幾何分布（Geometric Distribution）：用以描述n次獨立的伯努利試驗中試驗x次才第一次成功的概率。

 

假如每次伯努利實驗成功的概率為p，失敗的概率為q=1-p，那么n次獨立的伯努利實驗中試驗x次才第一次成功的概率是：。

 

 

幾何分布的期望：E(x)=1/p

幾何分布的方差：Var(x)=q/p²

 

超幾何分布（Hypergeometric Distribution）：用以描述從有限個（N個）物件中抽出n個物件（不放回），其中抽出k個指定種類物件的概率。

 

假如有N個物品，其中K個是某個特定種類，從這N個物品中抽出n個，其中k個是K種物品的概率是：。

 

 

超幾何分布的期望：

超幾何分布的方差：

 

最常見的超幾何分布問題就是抽取卡牌：一副卡片共有20張，其中6張是紅色的，14張是黑色的。從這20張卡片中隨機抽取5張，其中4張是紅色卡片的概率是多少？

 

當時，

當 時，超幾何分布的期望和二項分布的方差相同：

當 時，超幾何分布的方差和二項分布的方差相同：

當 時，超幾何分布近似為二項分布。

當n=1時，超幾何分布還原為伯努利分布。

 

多項分布（Multinomial Distribution）：用以描述n次獨立試驗中有n_x次出現結果x的概率。

 

伯努利實驗每次都只有2個可能的結果，若將其擴展為x個可能的結果，將該獨立試驗重復n次，那么出現n₁次p₁，n₂次p₂，...，n_x次p_x結果的概率是：

 

其中：

• n是試驗的次數
• n₁是出現結果1的次數
• n₂是出現結果2的次數
• n_x是出現結果x的次數
• p₁是結果1出現的概率
• p₂是結果2出現的概率
• p_x是結果x出現的概率
• p_i>0，p₁+p₂+...+p_x=1

 

最常見的多項分布問題就是多次投骰子：投擲10次均勻的骰子，1次結果是6點，4次結果是4點，5次結果是2點的概率是多少？

 

多項分布和二項分布的區別在於：二項分布試驗每次只有2個結果，而多項分布試驗每次可以有多個結果。

 

均勻分布（Uniform Distribution）：隨機變量在等長度的區間上取值的概率是相同的。

 

例如：投擲一顆均勻的骰子，每一面出現的概率都相同。

 

概率密度函數：（a≤x≤b）

 

 

均勻分布的期望：E(X) = (1/2)(a + b)

均勻分布的方差：Var(x) = (1/12)(b-a)²

 

泊松分布（Poisson Distribution）：用以描述在某個時間或空間范圍內，某事件發生x次的概率。

 

其概率質量函數為：。（其中x是在某個時間或空間范圍內事件發生的次數，λ是事件發生的平均次數）

 

 

泊松分布的期望：λ

泊松分布的方差：λ

 

最常見的泊松分布問題就是計算單位時間內經過某地的車輛數，或者單位時間內經過某地n輛車的概率。以公交車為例，假設我們知道它過去每個小時平均會5次經過其中一個站點（λ=5），那么它接下來一個小時經過該站點1次，4次，5次，10次的概率分別是多少？

• 當x=1時：P(1)=e⁻⁵5¹/1!≈0.034
  

• 當x=4時：P(4)=e⁻⁵5⁴/4!≈0.175
  

• 當x=5時：P(5)=e⁻⁵5⁵/5!≈0.175
  

• 當x=10時：P(10)=e⁻⁵5¹⁰/10!≈0.018

 

當λ>5時，泊松分布可以轉換成正態分布。但是由於正態分布是連續變量，所以需要加一個continuity correction。

 

指數分布（Exponential Distribution）：用以描述泊松過程中隨機事件發生的時間間隔的概率。泊松過程即事件以恆定的平均速率連續且獨立地發生的過程。

 

例如：等公交車，兩輛車到來的時間間隔，就符合指數分布。

 

其概率密度函數是：F(x) = λe ^{− λx}（x≥0，λ>0）（λ是單位時間事件發生的次數，x是事件發生的時間間隔）

 

其累積分布函數是：F(x) = 1 − e ^{− λx}（x ≥ 0; λ > 0） --- 表示在某個時間間隔內事件發生的概率（如果要表示在某個時間間隔內事件未發生的概率，則用1-F(x)=e ^{− λx}）

 

指數分布的期望：1/$\lambda$

$\mathrm{指數分布的方差：1/\lambda 2}$

 

指數分布主要用於測試產品可靠性。例如：某電視機廠生產的電視機平均10年出現1次大故障，且故障發生的次數服從泊松分布。求該電視機使用15年后還沒有出現大故障的概率？

 

指數分布是無記憶性的。你等待的時間越長，事件發生的概率並不會發生改變。例如：某地發生了一次水災，那么該地區在接下來一周，或十年以后發生水災的概率是一樣的。

 

總結如下：

	幾何分布	二項分布	指數分布	超幾何分布	泊松分布
概率分布類型	離散型概率分布	離散型概率分布	連續型概率分布	離散型概率分布	離散型概率分布
實驗要求	每次實驗是獨立的。  每次實驗只有成功和失敗兩種結果。 每次實驗成功的概率是一樣的。	實驗次數是有限的。 每次實驗是獨立的。  每次實驗只有成功和失敗兩種結果。 每次實驗成功的概率是一樣的。	在任意兩個相等長度的區間上，事件發生的概率相等。 事件在某一區間上是否發生是獨立的，與事件在其他區間上是否發生無關。	實驗次數是有限的。 每次實驗不獨立。 每次實驗只有成功和失敗兩種結果。 每次實驗成功的概率都不同。	在任意兩個相等長度的區間上，事件發生的概率相等。 事件在某一區間上是否發生是獨立的，與事件在其他區間上是否發生無關。
隨機變量	獲得第一次成功的試驗次數	試驗成功的次數	事件發生的時間間隔	抽取指定種類物件的個數	在某個時間或空間范圍內，某事件發生的次數
概率密度函數 或 概率質量函數			F(x) = λe − λx（x≥0，λ>0）
應用	進行n次獨立的伯努利試驗，求試驗x次才第一次成功的概率	進行n次獨立的伯努利實驗，求x次成功的概率	已知單位時間內事件發生次數，求一段時間間隔內發生該事件的概率	從有限個（N個）物件中抽出n個物件（不放回），求其中抽出k個指定種類物件的概率	已知單位時間或空間內某事件發生的平均概率，求一段時間內發生x次該事件的概率或求一段時間內發生該事件的次數