【劍指Offer】51、構建乘積數組

  題目描述：

  給定一個數組A[0,1,...,n-1],請構建一個數組B[0,1,...,n-1]。
  其中B中的元素B[i]=A[0] * A[1]... * A[i-1] * A[i+1]... * A[n-1]。不能使用除法。

  解題思路：

  首先，仔細理解題意，B[i]是A數組所有元素的乘積，但是沒有A[i]項，如果沒有不能使用除法這一限制，我們可以直接將A數組的所有元素相乘，得到一個乘積，記為res，則使用公式B[i] = res/A[i]即可得到B這個乘積數組。

  現在有不能使用除法的限制，只能使用其他辦法，當然，一個最直觀的辦法是每次計算B[i]時，都計算A數組中n-1個數字的乘積，顯然這需要O(n^2)的時間復雜度。

  仔細分析可以發現，這種暴力解法有很多重復的計算，我們可以通過一個簡單的改變來避免這些重復計算。具體如下：

  我們可以把B[i]=A[0]*A[1]*A[2]*···*A[i-1]*A[i+1]*···*A[n-1]看成是兩部分的乘積，第一部分是i之前的所有項，記為C[i]，即C[i]=A[0]*A[1]*A[2]*···*A[i-1]，第二部分是i之后的所有項，記為D[i]，即D[i]=A[i+1]*···*A[n-1]。

  經過這樣的分隔后，數組B就相當於可以用如下的矩陣來構建，B[i]為矩陣中第i行所有元素的乘積。

  由此，我們不難得出相應的規律：首先B[i]=C[i]*D[i]，而C[i]可以通過自上而下的順序進行計算，即C[0]=1,C[i]=C[i-1]*A[i-1],同理，D[i]可以通過自下而上的順序進行計算，即D[len-1]=1,D[i]=D[i+1]*A[i+1]。

  代碼如下所示，第一個for循環從上而下相當於計算C[i]，第二個for循環自下而上相當於在C[i]的基礎上乘以D[i]。顯然時間復雜度為O(n)。

  編程實現（Java）：

import java.util.ArrayList;
public class Solution {
    public int[] multiply(int[] A) {
        /*
        思路：分成兩部分的乘積，第一部分可以自上而下，第二部分自下而上
        */
        if(A==null||A.length<1)
            return A;
        int len=A.length;
        int[] B=new int[len]; 
        B[0]=1;
        for(int i=1;i<len;i++) //第一部分可以自上而下
            B[i]=B[i-1]*A[i-1];
        
        int temp=1;  //temp用來保存第二部分
        for(int i=len-2;i>=0;i--){ //第二部分可以自下而上
            temp=temp*A[i+1];
            B[i]=B[i]*temp;
        }
       return B;
    }
}