1. 工作原理（定義）
二分插入排序（Binary Insertion Sort，折半插入排序 OR 拆半插入排序），采用折半查找方法。
二分查找插入排序的原理：是直接插入排序的一個變種；區別是：在有序區中查找新元素插入位置時，為了減少元素比較次數提高效率，采用二分查找算法進行插入位置的確定。
2. 算法步驟
設數組為a[0…n]。
1. 將原序列分成有序區和無序區。a[0…i-1]為有序區，a[i…n] 為無序區。（i從1開始）
2. 從無序區中取出第一個元素，即a[i]，使用二分查找算法在有序區中查找要插入的位置索引j。
3. 將a[j]到a[i-1]的元素后移，並將a[i]賦值給a[j]。
4. 重復步驟2~3，直到無序區元素為0。
3. 圖片演示
4. 性能分析
1. 時間復雜度
不難看出，折半插入排序僅僅是減少了比較元素的次數，約為O(nlogn)，而且該比較次數與待排序表的初始狀態無關，僅取決於表中的元素個數n；而元素的移動次數沒有改變，它依賴於待排序表的初始狀態。因此，折半插入排序的時間復雜度仍然為O(n²)，但它的效果還是比直接插入排序要好。
最好時間復雜度O(n)
平均時間復雜度O(n²)
最壞時間復雜度O(n²)
2. 空間復雜度
插入排序過程中，需要一個臨時變量temp存儲待排序元素，因此空間復雜度為O(1)。
3. 算法穩定性
插入排序是一種穩定的排序算法。
4. 優缺點
- 優點 : 穩定，相對於直接插入排序元素減少了比較次數；
- 缺點 : 相對於直接插入排序元素的移動次數不變；
5. 優化
2-路插入排序算法是在折半插入排序的基礎上對其進行改進，減少其在排序過程中移動記錄的次數從而提高效率。
具體實現思路為：另外設置一個同存儲記錄的數組大小相同的數組 d，將無序表中第一個記錄添加進 d[0] 的位置上，然后從無序表中第二個記錄開始，同 d[0] 作比較：如果該值比 d[0] 大，則添加到其右側；反之添加到其左側。
使用 2-路插入排序算法對無序表{3,1,7,5,2,4,9,6}排序的過程如下：
- 將記錄 3 添加到數組 d 中：
- 然后將 1 插入到數組 d 中，如下圖所示：
- 將記錄 7 插入到數組 d 中，如下圖所示：
- 將記錄 5 插入到數組 d 中，由於其比 7小，但是比 3 大，所以需要移動 7 的位置，然后將 5 插入，如下圖所示：
- 將記錄 2 插入到數組 d 中，由於比 1大，比 3 小，所以需要移動 3、7、5 的位置，然后將 2 插入，如下圖所示：
- 將記錄 4 插入到數組 d 中，需要移動 5 和 7 的位置，如下圖所示：
- 將記錄 9 插入到數組 d 中，如下圖所示：
- 將記錄 6 插入到數組 d 中，如下圖所示：
最終存儲在原數組時，從 d[7] 開始依次存儲。
2-路插入排序相比於折半插入排序，只是減少了移動記錄的次數，沒有根本上避免，所以其時間復雜度仍為O(n2)。
6. 具體代碼
import java.util.Arrays; public class BinaryInsertionSort{ public static void main(String[] args) { int[] arr = {8,7,6,5,4,3,2,1}; System.out.println(Arrays.toString(binaryInsertionSort2(arr))); } // 二分插入排序 public static int[] binaryInsertionSort(int[] sourceArray) { // 對 arr 進行拷貝，不改變參數內容 int len = sourceArray.length; int[] arr = Arrays.copyOf(sourceArray, len); // 從下標為1的元素開始選擇合適的位置插入，因為下標為0的只有一個元素，默認是有序的 for (int i = 1; i < len; i++) { int left = 0; int right = i-1; int tmp = arr[i]; // 記錄要插入的數據 while(left <= right) { int mid = (left + right) / 2; //二分區域 if(arr[mid] > tmp) { right = mid - 1; //向左縮小區域 }else { left = mid + 1; //向右縮小區域，當等於的時候往后加一位，保證了穩定性 } } //arr[left,i-1]的元素整體后移 for(int j=i; j>=left+1; j--) { arr[j] = arr[j-1]; } arr[left] = tmp; } return arr; } //改進的二分插入--2路插入排序 public static int[] binaryInsertionSort2(int[] sourceArray){ int first = 0;//分別記錄temp數組中最大值和最小值的位置 int last = 0; int k = 0; int len = sourceArray.length; int[] arr = Arrays.copyOf(sourceArray, len); int[] temp = new int[len]; temp[0] = arr[0]; for (int i = 1; i < len; i++){ // 待插入元素比最小的元素小 if (arr[i] < temp[first]){ first = (first - 1 + len) % len; temp[first] = arr[i]; } // 待插入元素比最大元素大 else if (arr[i] > temp[last]){ last = (last + 1 + len) % len; temp[last] = arr[i]; } // 插入元素比最小大，比最大小 else { k = (last + 1 + len) % len; //當插入值比當前值小時，需要移動當前值的位置 while (temp[((k - 1) + len) % len] > arr[i]) { temp[(k + len) % len] =temp[(k - 1 + len) % len]; k = (k - 1 + len) % len; } //插入該值 temp[(k + len) % len] = arr[i]; //因為最大值的位置改變，所以需要實時更新final的位置 last = (last + 1 + len) % len; } } // 將排序記錄復制到原來的順序表里 for (k = 0; k < len; k ++) { arr[k] = temp[(first + k) % len]; } return arr; } }