線性規划問題復習要點整理

此處選用的(LP)形式為：

min f = C^Tx ;

s.t.　　AX = b ,

　　　X >= 0,

---

 

1.可行域K != NULL 時，K為第一卦限中的凸多邊形，且必存在頂點；

2.最優解存在則必有基本最優解，可行解存在則必存在基本可行解；

3.在求解之前首先觀察決策變量定義域，約束條件的格式，若非標准型，則化為標准型；

4.最優條件，由 f(X)=f(X₀)+Σr_jx_j (j 屬於I_D)，若r_j>=0，則基本可行解X₀為最優解(若標准型設為 max ，則零r_j<=0即可)；

6.若存在r_i<0，對應y_it<=0，則f無下界，如何求解？設全負列的非基變量為Ε，其余非基變量為0，進行解方程；

7.解判定：

 1）有唯一最優解

　　r_j>0 (j 屬於I_D)，>=0；（即所有非基變量的檢驗數均大於零，且該基變量的值為可行解）

2）最優解不唯一

　　若最優單純性表中存在非基變量檢驗數為0，且對應列向量y^t中存在大於零的元素，則按照最小比值法轉軸后，可得另一基本最優解；若y^t均小於零，而r^t為0,則此時最優解無窮

等價於 https://blog.csdn.net/jiangjieqazwsx/article/details/46701261#commentBox (作者：miangmiang咩) 中提到的，

"假設當前基本可行解是非退化的（即基本可行解的值都嚴格＞0），若它的基本可行解的所有非基變量的檢驗數≥0，並存在至少一個等於0，則線性規划問題有無窮多最優解；"

3）解無下界

　　同 6. ；

4）無解,不可行

　　即規划約束相互矛盾，此時一般用等式左右正不一致來進行判定；

8. 若（LP）中基本可行解X的某個基本變量為0，則X是退化的基本可行解，該（LP）為退化的線性規划問題，該問題在進行轉軸時可能會發生無窮的迭代，導致死循環的產生，如何解決？可利用 Bland's Law 來確定轉軸指標t和k，以避免出現死循環；

9.單純性表的矩陣描述，

Y=B^-1A

=B^-1b

r=C-C_B^Tb

f₀=C_B^TB^-1b

10.大M法和兩階段法（這里問題解釋的不夠詳細，詳細請移步《運籌學方法與模型》（第二版）傅家良 復旦大學出版社，P₃₈）

1）大M法

　　大M法是來解決初始基變量選擇的問題的，用無窮大的M和值為0的x對表達式進行補充，其求解與一般單純性表的求解一樣，結果若在最后的單純性表中，基變量還存在着值大於0的人工變量，則（LP）不可行；反之，若人工變量的之都為零則（LP）和（LPM）都有最優解或無下界；

2）兩階段法

　　兩階段的應用背景是對計算機無法使用的大M法情況下的另一種求解方式，在求（LP）之前先求（LP1）,（LP1）的目標函數是引進的人工變量的和（注意人工變量、松弛變量、剩余變量的區別），用單純性法求求最優值，得到（LP）問題的基變量和最優解，刪去人工變量列，重新計算檢驗數r和f₀（注意單純性表中的最優值顯示的是‘w= -f₀’），另注意書本P38的解判定！！！

11.線性規划問題可能出現約束之間線性相關的情況，在用單純形法的過程中發現某一行所有目標函數變量的值都為0了，對應的b也為0了，這時可以刪掉該行，和對應基變量的列；但不能直接在原約束中進行修改刪除，否則會改變可行解域；

12.基本解滿足非負條件即為基本可行解(單純性表后面的b值代表的是當前的基本解，但不一定是可行解)；