線性規划靈敏度分析的復習要點

線性規划的靈敏度分析，其目的在於找出參數在哪一范圍內發生變化時，最優基不變。

一、對參數c_s的靈敏度分析

對於單純形表來說，最優基保持不變即意味着隨着變量的波動，非基變量的檢驗數 r 始終保持為 >=0 的狀態，否則參數波動超出了靈敏度的范圍整個問題就需要重新計算；運用單純性表的矩陣運算公式，r_i=c_i-C_B^Tyⁱ ，對該非基變量的檢驗數進行校核，解不等式，得到最后的結果 c 的取值范圍。

若該參數對應的決策變量是基變量，那么該參數的波動會對C_B造成改變，所以此時需要對所有非基變量的檢驗數進行校核，求解不等式組得出參數的波動范圍。

《運籌學方法與模型》 復旦大學出版社 傅家良 第二版 P₈₄ 給出了如下公式：

 簡言之，此時的分析是用非基變量對應列的檢驗數除以系數，將允許的變化量放在不等號中間，（y）左負右正，（變化量）大於大的，小於小的。

 

二、對於參數b_s的靈敏度分析

基本情況類似於上述c_s，使資源變量b的變化不引起最優基的改變，而由單純形法的矩陣運算公式，我們可以將其組成一個不等式組，由此求解出資源變量b的波動范圍，同理，課本給出了與c_s 相似的公式：

其中 B^-1 = (h_ij)_mxm = (h¹ , … , h^m) 

簡言之，此時的分析使對對應的資源變量b的對應的行數 s，來尋找B^-1中的列向量h_s ，並用所有的資源變量依次與對應的h_is作比值，結果將允許的變化量放在不等號中間，（h_is）左正右負，（變化量）大於大的，小於小的。當變化量超出允許范圍時，需要重新計算最優基。

 

三、影子價格

影子價格，即當資源 b_i 在波動范圍內發生變化時，設 u_i* 是 i^# 資源供給量每增加一個單位，工廠最大利潤 f* 所能增加的收益，於是我們稱 u_i* 為關於 i^# 資源（或關於bi）的影子價格。

向量 U* = (C^TB^-1)^T 成為影子價格向量。還有一個概念叫做合理成本，與影子價格求解類似，不再贅述。