求解思路若⼀個規划問題中有多個⽬標, 例如企業在保證利潤最⼤時也要保證⽣產時產⽣的污染最少。這種情況下我們可以對多⽬標函數進⾏加權組合, 使問題變為單⽬標規划 , 然后再利⽤之前學的知識進⾏求解。

將多目標規划轉化為單目標規划問題，即對上面的兩個目標函數進行加權。
如果兩個目標函數的單位不同，我們需要首先對目標函數進行標准化來消除量綱的影響，然后再進行加權。（利用每個函數的參考值相除來相除量綱)

遇到要用到權重的規划問題需考慮到用靈敏度分析

敏感性分析：指從定量分析的角度研究有關因素發生某種變化對某一個或一組關鍵指標影響程度的一種不確定分析技術。其實質是通過逐一改變相關變量數值的方法來解釋關鍵指標受這些因素變動影響大小的規律。

操作方法

通過改變f1和f2的權重，來觀察對結果的影響

%%  多目標規划問題
w1 = 0.4;  w2 = 0.6;  % 兩個目標函數的權重  x1 = 5  x2 = 2
w1 = 0.5;  w2 = 0.5;  % 兩個目標函數的權重  x1 = 5  x2 = 2
w1 = 0.3;  w2 = 0.7;  % 兩個目標函數的權重  x1 = 1  x2 = 6
c = [w1/30*2+w2/2*0.4 ;w1/30*5+w2/2*0.3];  % 線性規划目標函數的系數
A = [-1 -1];  b = -7; % 不等式約束
lb = [0 0]'; ub = [5 6]'; % 上下界
[x,fval] = linprog(c,A,b,[],[],lb,ub)
f1 = 2*x(1)+5*x(2)
f2 = 0.4*x(1) + 0.3*x(2)


%% 敏感性分析
clear;clc
W1 = 0.1:0.001:0.5;  W2 = 1- W1;  
n =length(W1);
F1 = zeros(n,1);  F2 = zeros(n,1);   X1 = zeros(n,1);  X2 = zeros(n,1);   FVAL = zeros(n,1);
A = [-1 -1];  b = -7; % 不等式約束
lb = [0 0]; ub = [5 6]; % 上下界
for i = 1:n
    w1 = W1(i);  w2 = W2(i);
    c = [w1/30*2+w2/2*0.4 ;w1/30*5+w2/2*0.3];  % 線性規划目標函數的系數
    [x,fval] = linprog(c,A,b,[],[],lb,ub);
    F1(i) = 2*x(1)+5*x(2);
    F2(i) = 0.4*x(1) + 0.3*x(2);
    X1(i) = x(1);
    X2(i) = x(2);
    FVAL(i) = fval;
end

% 在圖上可以加上數據游標，按住Alt加鼠標左鍵可以設置多個數據游標出來。
figure(1) 
plot(W1,F1,W1,F2)
xlabel('f_{1}的權重') 
ylabel('f_{1}和f_{2}的取值')
legend('f_{1}','f_{2}')

figure(2)
plot(W1,X1,W1,X2)
xlabel('f_{1}的權重') 
ylabel('x_{1}和x_{2}的取值')
legend('x_{1}','x_{2}')

figure(3)
plot(W1,FVAL)  % 看起來是兩個直線組合起來的下半部分
xlabel('f_{1}的權重') 
ylabel('綜合指標的值')