Bresenham算法

1 算法原理

  基本原理從某處摘得：設直線方程為y_i+1=y_i+k(x_i+1-x_i)+k。假設列坐標象素已經確定為x_i，其行坐標為y_i。那么下一個象素的列坐標為x_i＋1，而行坐標要么為y_i，要么遞增1為y_i＋1。是否增1取決於誤差項d的值。誤差項d的初值d₀＝0，x坐標每增加1，d的值相應遞增直線的斜率值k，即d＝d＋k。一旦d≥1，就把它減去1，這樣保證d在0、1之間。當d≥0.5時，直線與垂線x=x_i＋1交點最接近於當前象素(x_i，y_i)的右上方象素(x_i＋1，y_i＋1)；而當d<0.5時，更接近於右方象素(x_i＋1，y_i)。為方便計算，令e＝d－0.5，e的初值為－0.5，增量為k。當e≥0時，取當前象素(x_i，y_i)的右上方象素(x_i＋1，y_i＋1)；而當e<0時，取(x_i，y_i)右方象素(x_i＋1，y_i)。

  由於顯示直線的像素點只能取整數值坐標,可以假設直線上第i個像素點的坐標為(X_i,Y_i),它是直線上點(X_i,Y_i)最佳近似,並且X_i=X_i(假設m<1),如下圖所示.那么直線上下一個像素點的可能位置是(X_i+1,Y_i)或者(X_i+1,Y_i+1).

由圖可知：在x=X_i+1處，直線上的點y的值是：y=m(X_i+1)+b，該點離像素點(X_i+1,Y_i)和像素點(X_i+1,Y_i+1)的距離分別為d1和d2。

　　　　d1 = Y - Y_i = m(X_i+1)+b - Y_i;　　　　(1)

　　　　d2 = (Y_i+1) - Y = (Y_i+1) - m(X_i+1) - b;　　　　(2)

　　　　兩個距離的差是：

　　　　d1-d2 = 2m(X_i+1) - 2Y_i + 2b -1;　　　　(3)

　　對於公式(3)：

　　a：當此值為正時，d1>d2,說明直線上理論點離(X_i+1,Y_i+1)像素較近，下一個像素點應取(X_i+1,Y_i+1)；

　　b：當此值為負時，d1<d2,說明直線上理論點離(X_i+1,Y_i)像素較近，下一個像素點贏取(X_i+1,Y_i)；

　　c：當此值為零時，d1=d2,說明直線上理論點離上、下兩個像素點的距離相等，取那個點都行，假設算法規定這種情況下取(X_i+1,Y_i+1)作為下一個像素點。

　　因此只要利用(d1-d2)的符號就可以決定下一個像素點的選擇。需進一步定義一個判別式：

　　P_i = △X × (d1-d2) = 2△Y·X_i - 2△X·Y_i + c 　　　(4)

　　　　其中△X=(X2-X1)>0，因此P_i與(d1-d2)有相同的符號；

　　　　△Y=Y2-Y1；m=△Y/△X；c=2△Y+△X(2b-1)

　　對(4)進一步處理得出誤差判別遞推公式並消除常數c；

　　將(4)中的下標i改為i+1，得到：

　　P_i+1 = △X × (d1-d2) = 2△Y·X_i+1 - 2△X·Y_i+1 + c　　(5)

　　假設直線的初始端點恰好是其像素點的坐標，即滿足：

　　Y1 = mX1 + b ;　　(6)

　　由公式(4)和(6)得到p1的初始值：

　　P1 = 2△Y - △X；　　(7)

/*推導過程*/
Pi = △X × (d1-d2) = 2△Y·Xi - 2△X·Yi + c   (4)
Y1 = mX1 + b                                       (6)

P1 =  2△Y·X1 - 2△X·Y1 + c
    = 2△Y·X1 - 2△X·(△Y/△X·X1+b) + c
    = 2△Y·X1 - 2△Y·X1 - 2△X·b + c
    = c - 2△X·b
    = 2△Y+△X(2b-1) - 2△X·b
    = 2△Y - △X

　　所以可以用誤差判別變量，得到如下算法表示：

　　初始：P1 = 2△Y - △X　　(8)

　　當P_i>=0時：Y_i+1 = Y_i + 1,X_i+1 = X_i + 1,P_i+1 = P_i + 2(△Y-△X)[根據公式(4)和(5)得出]；

/*推導過程*/
    Pi = △X × (d1-d2) = 2△Y·Xi - 2△X·Yi + c              (4)
Pi+1 = △X × (d1-d2) = 2△Y·Xi+1 - 2△X·Yi+1 + c      (5)

 (4)-(5)得：

 Pi+1 = Pi + (2△Y·Xi+1)-2△Y·Xi - (2△X·Yi+1)+2△X·Yi 

∵ Pi>0 時 Yi+1 = Yi + 1,Xi+1 = Xi + 1
∴ Pi+1 =  Pi + (2△Y·(Xi + 1))-2△Y·Xi - (2△X·(Yi + 1))+2△X·Yi 
           = Pi + 2(△Y-△X)

　　否則：Y_i+1 = Y_i,X_i+1=X_i + 1,P_i+1=P_i+2△y[根據公式(4)和(5)得出]

/*推導過程*/
    Pi = △X × (d1-d2) = 2△Y·Xi - 2△X·Yi + c              (4)
    Pi+1 = △X × (d1-d2) = 2△Y·Xi+1 - 2△X·Y(i+1) + c      (5)

 (4)-(5)得：

 Pi+1 = Pi + (2△Y·Xi+1)-2△Y·Xi - (2△X·Yi+1)+2△X·Yi 

∵ Pi>0 時 Yi+1 = Yi,Xi+1 = Xi + 1
∴ Pi+1 =  Pi + (2△Y·(Xi + 1))-2△Y·Xi - (2△X·(Yi))+2△X·Yi 
           =  Pi + 2△Y

　　從(8)式可以看出，第i+1步的判別變量P_i+1僅與第i步的判別變量P_i、直線的兩個端點坐標分量差△X和△Y有關，運算中只含有整數相加和乘2運算，而乘2可利用算術左移一位來完成，因此這個算法速度快並易於硬件實現。