bresenham畫圓算法

中點畫圓算法在一個方向上取單位間隔，在另一個方向的取值由兩種可能取值的中點離圓的遠近而定。實際處理中，用決策變量的符號來確定象素點的選擇，因此算法效率較高。

　　一、中點畫圓算法描述

　　設要顯示圓的圓心在原點(0，0)，半徑為R，起點在(0，R)處，終點在(，)處，順時針生成八分之一圓，利用對稱性掃描轉換全部圓。

　　為了應用中點畫圓法，我們定義一個圓函數

F(x，y)=x2+y2-R2

(2－19)

 

　　任何點(x，y)的相對位置可由圓函數的符號來檢測：

F(x，y)

<0　點(x，y)位於數學圓內   =0　點(x，y)位於數學圓上 >0　點(x，y)位於數學圓外

(2－20)

 

 

　　如下圖所示，圖中有兩條圓弧A和B，假定當前取點為Pi(xi，yi)，如果順時針生成圓，那么下一點只能取正右方的點E(xi+1，yi)或右下方的點SE(xi+1，yi-1)兩者之一。

中點畫線算法

　　假設M是E和SE的中點，即 ，則：　　1、當F(M)<0時，M在圓內(圓弧A)，這說明點E距離圓更近，應取點E作為下一象素點；

　　2、當F(M)>0時，M在圓外(圓弧B)，表明SE點離圓更近，應取SE點；

　　3、當F(M)=0時，在E點與SE點之中隨便取一個即可，我們約定取SE點。

　　二、中點畫圓算法思想

　　因此，我們用中點M的圓函數作為決策變量di，同時用增量法來迭代計算下一個中點M的決策變量di+1。

(2－21)

 

　　下面分兩種情況來討論在迭代計算中決策變量di+1的推導。

　　1、見圖（a），若di<0，則選擇E點，接着下一個中點就是，這時新的決策變量為：

(2－22)

 

（a）(di<0) 中點畫線算法

　　式(2－22)減去(2－21)得：

di+1=di+2xi+3

(2－23)

 

　　2、見圖（b），若di≥0，則選擇SE點，接着下一個中點就是 ，這時新的決策變量為：

(2－24)

 

（b）(di≥0) 中點畫線算法

　　式(2－24)減去(2－21)得：

di+1=di+2(xi-yi)+5

(2－25)

 

　　我們利用遞推迭代計算這八分之一圓弧上的每個點，每次迭代需要兩步處理：

　　　（1）用前一次迭代算出的決策變量的符號來決定本次選擇的點。

　　　（2）對本次選擇的點，重新遞推計算得出新的決策變量的值。

　　剩下的問題是計算初始決策變量d0，如下圖所示。對於初始點(0，R)，順時針生成八分之一圓，下一個中點M的坐標是 ，所以：

(2－26)

 

生成圓的初始條件和圓的生成方向

　　三、中點畫圓算法實現

　　1、輸入：圓半徑r、圓心(x0，y0)；

　　2、確定初值：x=0，y=r、d=5/4-r；

　　3、While(x<=y)

　　　{

　　　　·利用八分對稱性，用規定的顏色color畫八個象素點(x，y)；

　　　　· 若d≥0

　　　　　　{

　　　　　　　y=y-1；          //wind：個人覺得這句應該置於下句

　　　　　　　d=d+2(x-y)+5)；

　　　　　　}

　　　　　否則

　　　　　　　d=d+2x+3；

　　　　·x=x+1；

　　　}

　　五、中點畫圓算法完善

　　在上述算法中，使用了浮點數來表示決策變量d。為了簡化算法，擺脫浮點數，在算法中全部使用整數，我們使用e=d-1/4代替d。顯然，初值d=5/4-r對應於e=1-r。決策變量d<0對應於e<-1/4。算法中其它與d有關的式子可把d直接換成e。又由於e的初值為整數，且在運算過程中的迭代值也是整數，故e始終是整數，所以e<-1/4等價於e<0。因此，可以寫出完全用整數實現的中點畫圓算法。

　　要求：寫出用整數實現的中點畫圓算法程序，並上機調試，觀看運行結果。

　　六、中點畫圓算法程序

void MidpointCircle(int x0,int y0,int r,int color)

{

　int x,y;

　float d;

　x=0;

　y=r;

　d=5.0/4-r;

　while(x<=y)

　{

　　putdot(x0,y0,x,y,color);

　　if(d<0)

　　d+=x*2.0+3;

　　else

　　{

　　　d+=2.0*(x-y)+5;

　　　y--;

　　} 

　　x++;

　}

}

putdot(x0,y0,x,y,color)

{

　putpixel(x0+x,y0+y,color);

　putpixel(x0+x,y0-y,color);

　putpixel(x0-x,y0+y,color);

　putpixel(x0-x,y0-y,color);

　putpixel(x0+y,y0+x,color);

　putpixel(x0+y,y0-x,color);

　putpixel(x0-y,y0+x,color);

　putpixel(x0-y,y0-x,color);

}