本質矩陣分解

定義

 本質矩陣是歸一化圖像坐標下的基本矩陣的特殊形式

E=t^R

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性質

一個 3X3 矩陣是本質矩陣的充要條件是它的奇異值中有兩個相等而第三個是 0

證明： 正交矩陣$W=\begin{bmatrix}1&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}$    反對稱矩陣$Z=\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$  

其中t^R轉換成矩陣形式為t^R, S是反對稱矩陣，E=SR.

根據定義：

　　S=kUZU^T   ,U是正交矩陣。

　　Z=diag(1,1,0)W

　　得S=kUdiag(1,1,0)WU^T, 忽略尺度時視k=1

由SVD分解E可得

 　　E=Udiag(1,1,0)V^T=SR

在相差一個常數k的意義下，

　　E=SR=Udiag(1,1,0)WU^TR=Udiag(1,1,0)V^T

　　故WU^TR=V^T 

這正是E的奇異值分解並如所需要證明的具有兩個相等的奇異值,反之，一個具有兩個相同奇異值的矩陣可以用同樣方法分解為 SR.

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分解

 （1）若E可由SVD分解為E=Udiag(1,0,0)V^TR和 t有四種分解的情況

其中R 有兩種情況；

　　由於 

　　E=SR=Udiag(1,1,0)V^T=Udiag(1,1,0)WU^TR

 

　　即　　WU^TR=V^T  ,　　其中 R ,   W，  U   ，V 為正交矩陣 

　　得      R=UWV^T    or  UW^TV^T     其中U V 是E通過SVD分解出的  W 是前面提及的反對稱矩陣  ；

       當R=UW^TV^T    時為負號

證明

　　E=SR=(UZU^T)(UXV^T)   ,x是正交矩陣,旋轉矩陣，

  　　=U(ZX)V^T=Udiag(1,0,0)V^T

　　故ZX=diag(1,1,0)

因為X是旋轉矩陣，所以x= W

當 x=W^T     得  ZX=diag(-1,-1,0)         忽略符號 -->      ZX=diag(1,1,0)

 

（2）己知本質矩陣 E=Udiag(1,1,0)V^T和前一個相機位置矩陣P[R |t ]， 那么第二個像機矩陣 P'[R |t ] 有下列幾種可能的選擇:

　　P'2=[UWV^T|u₃]  or  [UWV^T|−u₃ ]  or  [UW^TV^T|u₃]  or  [UW^TV^T|−u₃]

　　即 t取U的最后一列

 

R部分上面已證明 t部分證明如下

 

S的F范數的平方為2，意味着如果S=t^(包含尺度因子) ，則 ιι t ιι=1，這是對兩個攝像機矩陣基線的一種常用的歸一化

由叉乘性質得

　　St=0

 

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不嚴謹推導

利用最小二乘思想（SVD分解求方程組類似）

　　min  ιι St ιι  ,   st  ιι t ιι=1

ιι St ιι  = t^TS^TSt

　　　　=σ  ιι t ιι

 

取S^TS的最小特征值對應的特征向量為最優解

　　S^TS=UZ^TU^TUZU^T

　　　　=U^TZ^TZU^T

　　　　=U^Tdiag(1,1,0)U^T

 

其中U為S的特征向量 ，取最后一行為最小解

即  Su=oS       ，u為S最小特征值對應的特征向量，此時Su 最小

 

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 代碼 

from orbslam2

/**
 * @brief 分解Essential矩陣
 *
 * F矩陣通過結合內參可以得到Essential矩陣，分解E矩陣將得到4組解 \n
 * 這4組解分別為[R1,t],[R1,-t],[R2,t],[R2,-t]
 * @param E  Essential Matrix
 * @param R1 Rotation Matrix 1
 * @param R2 Rotation Matrix 2
 * @param t  Translation
 * @see Multiple View Geometry in Computer Vision - Result 9.19 p259  chinese 174
 */
void Initializer::DecomposeE(const cv::Mat &E, cv::Mat &R1, cv::Mat &R2, cv::Mat &t) {
    Mat u, w, vt;
    SVDecomp(E, w, u, vt);
    //t為 u的最后一行
    u.col(2).copyTo(t);
    t /= norm(t);

    Mat W(3, 3, CV_32F, cv::Scalar(0));
    W.at<float>(0, 1) = -1;
    W.at<float>(1, 0) = 1;
    W.at<float>(2, 2) = 1;

    R1 = u * W * vt;
    if (cv::determinant(R1) < 0)// 旋轉矩陣有行列式為1的約束
        R1 = -R1;

    R2 = u * W.t() * vt;
    if (cv::determinant(R2) < 0)
        R2 = -R2;

}

 

 

 參考  《計算機視覺中的多視圖幾何》