矩陣的對角分解
定理5.1 為正規矩陣的充要條件是：存在酉矩陣,使得：
例1 設是階正規矩陣，其特征值，，，，則：
是厄米特矩陣的充要條件是：的特征值全是實數；
是反厄米特矩陣的充要條件是：的特征值為零或純虛數；
是酉矩陣的充要條件是：的每個特征值的模。
矩陣的三角分解
定義5.1：設，如果存在下三角矩陣和上三角矩陣，使得，則稱可以作三角分解。
定理5.2：設可逆矩陣，則可以作三角分解的充要條件是的所有順序主子式不為零。
定義5.2：設，
如果可以分解為，其中是對角線元素為1的下三角矩陣（稱為單位下三角矩陣），為上三角矩陣，則稱之為的Doolittle分解。
如果可以分解成，是對角線元素為1的上三角矩陣(稱為單位上三角矩陣)，則稱之為的Crout分解。
如果可以分解成，其中分別是單位下三角矩陣、對角矩陣、單位上三角矩陣，則稱之為的LDR分解。
如果是正定的厄米特矩陣，則存在下三角矩陣使得，稱之為的Cholesky分解。
矩陣的滿秩分解
這一節討論一種將矩陣分解為列滿秩與行滿秩矩陣的乘積。
定義5.3：設，如果存在，，使得，則稱為矩陣的滿秩分解。
定理5.3：設，則滿秩分解總是存在的。
舒爾定理與矩陣的QR分解
舒爾(Schur)定理在理論上很重要，它是很多重要定理的出發點。而矩陣的分解在數值化代數中起着重要的作用，是計算矩陣特征值以及求解線性方程組的重要工具。
定理5.4：(舒爾定理)若，則存在酉矩陣，使得：
這里是上三角矩陣，的對角線上的元素都是的特征值。
定理5.5：(QR分解定理)設為階復矩陣，則存在酉矩陣及上三角矩陣，使得：