矩陣分解

QR分解

QR分解（正交三角分解）是將一個矩陣分解為一個正交矩陣Q和上三角矩陣R的乘積 A=QR

解線性方程組 Ax=b

Ax=b-->QRx=b-->x=R\(Q\b)

求特征值

 LU分解

LU分解將一個矩陣分解為一個單位下三角矩陣和一個上三角矩陣的乘積，A=LU

LU分解在本質上是高斯消元法的一種表達形式。實質上是將A通過初等行變換變成一個上三角矩陣，其變換矩陣就是一個單位下三角矩陣。

 SVD分解

參考：

奇異值分解(SVD)原理詳解及推導

SVD(Singular Value Decomposition,奇異值）分解，SVD是最可靠的分解法，但是它比QR 分解法要花上近十倍的計算時間。[U,S,V]=svd(A)，其中U和V分別代表兩個正交矩陣，而S代表一對角矩陣。 和QR分解法相同， 原矩陣A不必為正方矩陣。使用SVD分解法的用途是解最小平方誤差法和數據壓縮。

 

 正交矩陣是在歐幾里得空間里的叫法，在酉空間里叫酉矩陣，一個正交矩陣對應的變換叫正交變換，正交變換的特點是不改變向量的尺寸和向量間的夾角。

SVD分解：對於任意的M*N矩陣A，找到一組正交基使得經過它變換后還是正交基。A矩陣將n維空間中的向量映射到k維空間中，k=Rank(A)。現在的目標就是：在n維空間中找一組正交基，使得經過A變換后還是正交的。

 Cholesky分解

 Cholesky(喬里斯基)分解把矩陣分解為一個下三角矩陣以及它的共軛轉置矩陣的乘積。與一般的矩陣分解求解方程的方法比較，Cholesky分解效率很高。

Cholesky分解條件：

1.Hermitian Matrix:矩陣元素共軛對稱。

 2.矩陣正定。

只要矩陣滿足以上兩個條件，則A=LL* (L*為L的共軛轉置矩陣），L唯一確定且L的對角線元素為正數；如果A是半正定的則A也可以分解，只不過這時候L就不唯一了。如果A是實數對稱矩陣，那么L的元素肯定也是實數。