大整數乘法——分治算法的時間復雜度

　　1.1原始的低效算法

　　

　　我們將n位（為方便討論簡化問題，我們假設n是2的冪）十進制整數（二進制也可以）X、Y都分為2段，每段的長度是n/2位。

 

　　如果現在直接用遞歸或分治進行編程，其算法復雜度為： 

　　其中：T(n)代表規模為n的問題，系數4表示問題縮小到T(n/2)時，包含四次乘法（上式中AC/AD/BC/BD四次）

這是在沒有進行優化情況下的算法復雜度（注意，此處雖然用了分治思想，但分治並不會降低算法復雜度，反而因其需要使用棧，增加了算法的空間復雜度）。

　　1.2高效的算法（運用了數學的小技巧）

　　

　　我們知道，大整數乘法的基本運算是“乘法”運算，我們可以通過減少乘法的次數來降低算法復雜度！

　　從公式中可以發現，原來有四個基本乘積項：AC、AD、BC、BD，現在只有三個基本乘積項：（A-B)(C-D)、AC、BD。乘法運算的數量降低了，下面看看其復雜度變化：

復雜度從n²降到n^1.59

　　1.3補充

　　有的小伙伴可能會問了，如果不分成兩段，分成三段，四段甚至n段的時候時間復雜度會降低，結論是：

　　

　　在大整數乘法中，當把大整數分為2段時，算法時間復雜度最低n^1.59

　　隨着段數逐漸增加，算法的時間復雜度也隨之增加，當分段增加到n段時，算法時間復雜度退化到n²