開篇
最近研究分治算法，對大整數算法（包括加減乘數）、strassen矩陣乘法、合並排序的優化、線性時間選擇和最接近點對問題學習了一下。
這篇文章主要是關於大整數乘法算法復雜度的研究。
本人菜鳥，本科就讀北京一工科院校土建專業，現就讀北京一所二流985的計算機研究生。
希望在這里分享和學習，如有錯誤還請多多指點！
正文
一，引入問題
在某些情況下，我們需要計算很大的整數，它無法在計算機硬件能直接表示的整數范圍內進行處理，如果用浮點數則會有精度問題，這就必須用軟件的方法來實現大整數的算術運算。
二，大整數乘法的分治解決方案
2.1原始低效算法
我們將n位（為方便討論簡化問題，我們假設n是2的冪）十進制整數（二進制也可以）X、Y都分為2段，每段的長度是n/2位。
如果現在直接用遞歸或分治進行編程，其算法復雜度為：
其中：T(n)代表規模為n的問題，系數4表示問題縮小到T(n/2)時，包含四次乘法（上式中AC/AD/BC/BD四次）
這是在沒有進行優化情況下的算法復雜度（注意，此處雖然用了分治思想，但分治並不會降低算法復雜度，反而因其需要使用棧，增加了算法的空間復雜度）。
2.2如何進行優化降低復雜度？
我們知道，大整數乘法的基本運算是“乘法”運算，我們可以通過減少乘法的次數來降低算法復雜度！
從公式中可以發現，原來有四個基本乘積項：AC、AD、BC、BD，現在只有三個基本乘積項：（A-B)(C-D)、AC、BD。乘法運算的數量降低了，下面看看其復雜度變化：
復雜度從n2降到n1.59
三，時間復雜度還能優化嗎？
3.1上面討論中，我們將大整數X、Y都分為2段，每段的長度是n/2位，那分成3段4段會如何？
3.1.1大整數分3段：
3.2.2大整數分4段：
3.2.3大整數分n段：
結論：
在大整數乘法中，當把大整數分為2段時，算法時間復雜度最低n1.59
隨着段數逐漸增加，算法的時間復雜度也隨之增加，當分段增加到n段時，算法時間復雜度退化到n2
3.2算法復雜度還能降低嗎？
用快速傅里葉變換只需要O(N*logN)的時間復雜度！（該部分后續添加）
四，編程思想
本人用java實現了大整數乘法的計算，代碼部分會另起一篇，以下是連接：
http://www.cnblogs.com/McQueen1987/p/3401979.html