遞歸的算法時間復雜度

我先通過一道簡單的面試題，來帶大家逐步分析遞歸算法的時間復雜度，最后找出最優解。

來看一下這道面試題：求x的n次方

大家想一下這么簡單的一道題目 代碼應該如何寫。

最直觀的方式應該就是，一個for循環求出結果，代碼如下

int function1(int x, int n) {
    int result = 1;  // 注意 任何數的0次方等於1
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        result = result * x;
    }
    return result;
}

時間復雜度為O(n)

此時面試官會說，有沒有效率更好的算法呢。

如果同學們此時沒有思路，建議不要說：我不會，我不知道。可以和面試官探討一下，問：可不可以給點提示。

面試官一般會提示：考慮一下遞歸算法

有的同學就寫出了如下這樣的一個遞歸的算法，使用遞歸解決了這個問題

int function2(int x, int n) {
    if (n == 0) {
        return 1; // return 1 同樣是因為0次方是等於1的
    }
    return function2(x, n - 1) * x;
}

面試官問：那么這份代碼的時間復雜度是多少？

有的同學可能一看到遞歸就想到了logn，其實並不是這樣

遞歸算法的時間復雜度本質上是要看: 遞歸的次數 * 每次遞歸中的操作次數

那我們再來看代碼，我們遞歸了幾次呢。

每次n-1，遞歸了n次 時間復雜度是O(n)，每次進行了一個乘法操作，乘法操作的時間復雜度一個常數項O(1)

所以這份代碼的時間復雜度是 n * 1 = O(n)

這個時間復雜度可能就沒有達到面試官的預期。

於是同學又寫出了這樣的一個遞歸的算法的代碼如下 ，來求 x的n次方

int function3(int x, int n) {
    if (n == 0) {
        return 1;
    }
    if (n % 2 == 1) {
        return function3(x, n/2) * function3(x, n/2)*x;
    }
    return function3(x, n/2) * function3(x, n/2);
}

面試官看到后微微一笑，問這份代碼的時間復雜度又是多少呢？

我們來分析一下

首先看遞歸了多少次呢，可以把遞歸的次數 抽象出一顆滿二叉樹。

我們剛剛寫的這個算法，可以用一顆滿二叉樹來表示（為了方便表示 我選擇n為偶數），如圖：

 

 

當前這顆二叉樹就是求x的n次方，n為16的情況

n為16的時候 我們進行了多少次乘法運算呢

這棵樹上每一個節點就代表着一次遞歸並進行了一次相乘操作

所以 進行了多少次遞歸的話，就是看這棵樹上有多少個節點。

熟悉二叉樹的同學應該知道如何求滿二叉樹節點數量

這顆滿二叉樹的節點數量就是2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0 = 15

有同學就會發現 這其實是等比數列的求和公式， 如果不理解的同學可以直接記下來這個結論。

這個結論在二叉樹相關的面試題里也經常出現。

這么如果是求x的n次方，這個遞歸樹有多少個節點呢，如下圖所示

 

 

時間復雜度忽略掉常數項-1之后，我們發現這個遞歸算法的時間復雜度依然是O(n)。

 

此時面試官就會問， 貌似這個遞歸的算法依然還是O(n)啊， 很明顯沒有達到面試官的預期

那么在思考一下 O(logn)的遞歸算法應該怎么寫

這里在提示一下 上面剛剛給出的那份遞歸算法的代碼，是不是有哪里比較冗余呢。

來看這份優化后的遞歸算法代碼

int function4(int x, int n) {
    if (n == 0) {
        return 1;
    }
    int t = function4(x, n/2);// 這里相對於function3，是把這個遞歸操作抽取出來
    if (n % 2 == 1) {
        return t*t*x;
    }
    return t*t;
}

那我們看一下 時間復雜度是多少

依然還是看他遞歸了多少次

我們可以看到 這里僅僅有一個遞歸調用，且每次都是 n/2

所以這里我們一共調用了 log以2為底n的對數次

每次遞歸了做都是一次乘法操作，這也是一個常數項的操作，

所以說這個遞歸算法的時間復雜度才是真正的O(logn)。

 

 

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