遞歸算法時間復雜度

1：代入

【舉   例】我們有如下的遞歸問題：T(n)=4T(n/2)+O(n)
我們首先預測時間復雜度為O(n2),不妨設T(n)=kn^2（其中k為常數），將該結果帶入方程中可得：左=kn^2，右=4k(n/2)2+O(n)=kn^2+O(n)
由於n^2的階高於n的階，因而左右兩邊是相等的，接下來用數學歸納法進行驗證即可。

2：遞推

           

            例子： T(n)=2T(n/2)+n²

              

              直到n/2^(i+1)=1時，遞歸過程結束

              

3：Master定理

• T(n)表示時間復雜度，可以這樣表示：T(n)=一個單項式，例如：T(n)=2T(n/2)+f(n)
  
• Θ 讀音：theta，表示等於
• O 讀音：big oh，表示小於等於
• o 讀音：small oh，表示小於
• Ω 讀音：big omega，表示大於等於
• ω 讀音：small omega，表示大於

      

     

4：遞歸樹（參考https://www.cnblogs.com/wu8685/archive/2010/12/21/1912347.html）

遞歸樹的規則為：
　　(1) 每層的節點為T(n) = kT(n / m) + f(n)中的f(n)在當前的n/m下值；
　　(2) 每個節點的分支數為k；
　　(3) 每層的右側標出當前層中所有節點的和

      例子1：第二個方法里T(n)=2T(n/2)+n²

     

     

        圖中所有節點之和為:[1 + 1/2 + (1/2)² + (1/2)³ + … + (1/2)ⁱ] n² = 2n²     

       可知其時間復雜度為O(n²)

       例子2：T(n) = T(n/3) + T(2n/3) + n

        

     可見每層的值都為n，從根到葉節點的最長路徑是：

　　

　　因為最后遞歸的停止是在(2/3)^kn == 1.則

　　　　　　

　　於是

　　　　

　　即T(n) = O(nlogn)　

     總結，利用此方法解遞歸算法復雜度：

　　f(n) = af(n/b) + d(n)

　　1.當d(n)為常數時：

　　

　　2.當d(n) = cn 時：

 　　

　　3.當d(n)為其他情況時可用遞歸樹進行分析。