一、超復數數系
從實數擴展到復數，實際上是從實數軸擴張到復平面，即從一元數擴展到二元數。那么我們能夠擴展到更高維的空間哪？數學家給了我們答案，我們可以引進$2^{n}$元數。當$n=0,1$時，分別對應實數和復數。當$n=2,3,4$分別對應四元數(Hamilton代數)，八元數（Cayley代數），以及十六元數（Clifford代數）。它們統稱為超復數。
當$n\geq 1$時，我們就已經無法比較數的大小，即有序性消失。下面我們就$n=2,3,4$的情況分別討論。
二、 四元數系$Q(R)$
四元數系是第一個放棄乘法交換律的數系。它由四組基元定義。
令$Q(R)=\{\alpha|\alpha=a+b\hat i+c\hat j+d\hat k,\,a,b,c,d\in\mathbb{R}\}$，用自然方式定義加法，以及元素與實數的數乘運算，而乘法規定為用分配律去展開，並且基元的乘法運算滿足
${\hat i}^2={\hat j}^2={\hat k}^2=-1,\,\hat i\hat j=-\hat j\hat i=\hat k,\,\hat j\hat k=-\hat k\hat j=\hat i,\,\hat k\hat i=-\hat i\hat k=\hat j$.
從基元的乘法可以看出，四元數的乘法是不對易的，因此$Q(R)$是一個非Abel域。注意准確地講，如果乘法非Abel，那么數系不是域。
四元數可以用Pauli矩陣表示
$$ \sigma_x=\begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0\\ \end{pmatrix},\quad \sigma_y=\begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0\\ \end{pmatrix},\quad \sigma_z=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1\\ \end{pmatrix}.$$
可以得到$Q(R)$的一個矩陣實現
$$1=E_2,\,\hat i=-i\sigma_x,\,\hat j=-i\sigma_y,\,\hat k=-i\sigma_z.$$
四元數或Pauli矩陣在剛體轉動中有廣泛應用。剛體繞方向余弦$n=(\cos\alpha,cos\beta,\cos\gamma)$轉動$\theta$的轉動$R(n,\theta)$可以用四元數表示
$$Q(n,\theta)=\cos\frac\theta 2+\sin\frac\theta 2(\cos\alpha\hat i+\cos\beta\hat j+\cos\gamma\hat k)$$.
連續兩次轉動就是兩個四元數相乘，注意四元數乘法非Abel，代表轉動與順序有關，這與事實相符。
三、 八元數系$\Omega$
英國數學家Cayley推廣了Hamilton的四元數系，得到了如下定義的八元數系。
$$\Omega=\{\alpha+\beta e|\alpha,\beta\in Q(R)\}=\{a_0+a_1i+a_2j+a_3k+a_4e+a_5ie+a_6je+a_7ke|a_i\in\mathbb{R}\}.$$
這里$e$是新的基元，它與i,j,k的乘法表如下：
從中可以看出，乘法既無交換律，亦無結合律，比如$(e_1e_2)e_4=e_7,\,e_1(e_2e_4)=-e_7$.
四、 十六元數$\Gamma$
十六元數系$\Gamma$，數學中成Clifford代數，物理中稱為Dirac代數，滿足Dirac方程。十六元數系可由Dirac矩陣$\gamma_\mu(\mu=1,2,3,4)$表示, 其中
$$\gamma_\mu^2=1,\,\gamma_\mu\gamma_\nu=-\gamma_\nu\gamma_\mu \,(\mu\neq\nu),$$
那么考慮滿足條件$u_i^2=1,u_iu_j=-u_ju_i\,(i\neq j)$的四個$u_1,u_2,u_3,u_4$，此時由$2^4$個基元：$1,u_i,u_iu_j,u_iu_ju_k,u_iu_ju_ku_l$, 記作$\gamma_A,\,A=1,2,...,16$. 那么這個代數系（Clifford代數）可表示為
$$\Gamma=\{X|X=\sum_{A=1}^{16}x_A\gamma_A, x_A\in \mathbb{R}\}$$.