整數分解費馬方法

寫在前面：

　　這篇博客是我在[◹]對 算術基本定理 的研究 中的一部分

 

整數分解廢馬方法

• 整數分解費馬方法

　　整數分解費馬方法與費馬小定理無關

　　原理：

　　　　任何一個正整數n都能拆成n==2^k*a的形式，其中a為一個奇數

　　　　我們在a上搞事情：

　　　　　　若a==c*d (c>d，且顯然cd都是奇數)

　　　　　　那么讓x==(c+d)/2，讓y==(c-d)/2

這里是邏輯上的證明，並不是計算機要實現的內容，根本不考慮丟精的情況(就算考慮了，cd都是奇數，不會丟精)

　　　　　　那么x²-y²==(c²+d²+2c*d)/4-(c²+d²-2c*d)/4==(4c*d)/4==c*d==a

　　　　枚舉x²，看看x²-a是不是完全平方數

　　　　如果是的話，那么c==x+√(x²-a)和d==x-√(x²-a)就都是a的因子

　　　　可以枚舉x²，找出a的所有因子！

　　有用的性質：

　　　　接着上面的證明，x==(c+d)/2，a==c*d

　　　　根據基本不等式，(c+d)/2 >= √(cd)

　　　　即x² >= a

　　　　在枚舉時x² >= a時才有解

 

代碼如下：

C++：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n;
int tmp;

int ponySqrt(int x){
    if(x<=0) return -1;
    return (int)sqrt(x)*(int)sqrt(x)==x? (int)sqrt(x):-1;
}

int main(int argc,char *argv[],char *enc[])
{
    scanf("%d",&n);
    
    printf("%d==1",n);
    
    while(n%2==0){
        n/=2;
        printf("*2");
    }

    for(int i=(int)sqrt(n);;++i){
        tmp=ponySqrt(i*i-n);
        if(tmp!=-1){
            printf("*%d*%d",i+tmp,i-tmp);
            n/=(i+tmp);
            n/=(i-tmp);
            if(n<=1) break;
            i=(int)sqrt(n);
        }
    }
    return 0;
}

Java：

import java.util.Scanner;
import java.lang.Math;

class Pony{
    
    static int n,tmp;

    static int ponySqrt(int x){
        if(x<=0) return -1;
        return (int)Math.sqrt(x)*(int)Math.sqrt(x)==x? (int)Math.sqrt(x):-1;
    }

    public static void main(String[] args) throws Exception
    {
        Scanner cin=new Scanner(System.in);

        n=cin.nextInt();

        System.out.printf("%d==1",n);

        while(n%2==0){
            n/=2;
            System.out.printf("*2");
        }

        for(int i=(int)Math.sqrt(n);;++i){
            tmp=ponySqrt(i*i-n);
            if(tmp!=-1){
                System.out.printf("*%d*%d",i+tmp,i-tmp);
                n/=(i+tmp);
                n/=(i-tmp);
                if(n<=1) break;
                i=(int)Math.sqrt(n);
            }
        }
    }
}