[算法]正整數分解為幾個連續自然數之和

題目：輸入一個正整數，若該數能用幾個連續正整數之和表示，則輸出所有可能的正整數序列。

一個正整數有可能可以被表示為n(n>=2)個連續正整數之和，如：
15=1+2+3+4+5
15=4+5+6
15=7+8

有些數可以寫成連續N（>1）個自然數之和，比如14=2+3+4+5；有些不能，比如8.那么如何判斷一個數是否可以寫成連續N個自然數之和呢？

一個數M若可以寫成以a開頭的連續n個自然數之和，則M=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+n-1)=n*a+n*(n-1)/2，要求a!=0，否則就是以a+1開頭的連續n-1個整數了，也就是要求(M-n*(n-1)/2)%n==0，這樣就很容易判斷一個數可不可以寫成連續n個自然數的形式了，遍歷n=2…sqrt(M)*2，還可以輸出所有解。

void divide(int num)  
{  
    int i,j,a;  
    for(i=2; i<=sqrt((float)num)*2; ++i)  
    {  
        if((num-i*(i-1)/2)%i==0)  
        {  
            a=(num-i*(i-1)/2)/i;  
            if(a>0)  
            {  
                for(j=0; j<i; ++j)  
                    cout<<a+j<<" ";  
            }  
            cout<<endl;  
        }  
    }   
}  

第二個問題是什么樣的數可以寫成連續n個自然數之和，什么樣的數不能？

通過編程實驗發現，除了2^n以外，其余所有數都可以寫成該形式。下面說明為什么。
若數M符合條件，則有M=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+n-1)=(2*a+n-1)*n/2，而2*a+n-1與n肯定一個為奇數一個為偶數，即M一定要有一個奇數因子，而所有2^n都沒有奇數因子，因此肯定不符合條件。
再證明只有M有一個奇數因子，即M!=2^n，M就可以寫成連續n個自然數之和。假設M有一個奇數因子a，則M=a*b。

1. 若b也是奇數，只要b-(a-1)/2>0，M就可以寫成以b-(a-1)/2開頭的連續a個自然數；將這條結論里的a和b調換，仍然成立。15=3*5=1+2+3+4+5=4+5+6.
2. 若b是偶數，則我們有一個奇數a和一個偶數b。

• 2.1 若b-(a-1)/2>0，M就可以寫成以b-(a-1)/2開頭的連續a個自然數。24=3*8=7+8+9.
• 2.2 若(a+1)/2-b>0，M就可以寫成以(a+1)/2-b開頭的連續2*b個自然數。38=19*2=8+9+10+11.

上述兩個不等式必然至少有一個成立，所以可以證明，只要M有一個奇數因子，就一定可以寫成連續n個自然數之和。

另一個正整數分解的算法：
sum(i,j)為i累加到j的和 
令 i=1 j=2 
if sum(i,j)>N i++ 
else if sum(i,j)<N j++ 
else cout i...j

參考代碼：

#include <iostream>   
using namespace std;  
  
int add(int m,int n)  
{  
    int sum=0;  
    for(int i=m;i<=n;i++)  
        sum+=i;  
    return sum;  
}  
  
void divide(int num)  
{  
    int i=1,j=2,flag;  
    int sum=0;  
    while(i<=num/2)  
    {  
     sum=add(i,j);  
     while(sum!=num)  
     {  
        if(sum>num)  
            i++;  
        else  
            j++;  
        sum=add(i,j);  
     }  
     for(int k=i;k<=j;k++)  
        cout<<k<<" ";  
     ++i;  
     cout<<endl;  
    }  
}  
  
int main()  
{  
    int num;  
    cout<<"Please input your number:"<<endl;  
    cin>>num;  
    divide(num);  
    return 0;  
}