轉自：http://mini.eastday.com/bdmip/180328092726628.html#
定義：
對於給定矩陣A，尋找一個常數λ（可以為復數）和非零向量x，使得向量x被矩陣A作用后所得的向量Ax與原向量x平行，並且滿足Ax=λx。
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特征值和特征向量的幾何意義
看到硬生生的定義，模友估計會感到有點迷糊，那超模君就再從幾何角度來講一下它們到底是什么東西：
我們以一個戀愛故事為栗子：
二維公園（坐標軸）里的椅子上有一個孤獨的向量v（-2，2），一個忠心（不變）的矩陣A試圖從左邊搭訕向量v，於是他們坐在一起得到向量Av
他們就開始上談天文，下聊地理。秀外慧中的向量v徹底迷住了矩陣A，待到離別時，A心里始終放不下v，當v去一個地方的時候，Av（A心里有着v，不是單純的A）也陪着她去，就這樣經歷漫長的約會和成長（即下圖中的向量v從左邊移到右邊），終於……
向量v和Av結婚了（共線）！結婚后的向量v多了一份名義，叫做特征向量。而且向量Av的責任也變多了（上圖是向量Av相對向量v來說伸長了）。也就是說，向量v與矩陣A的結婚后，向量Av保持忠心（方向）不變，責任變多了或什么東西變少了（進行比例為λ的伸縮）。
那么我們也許會問：什么東西會變少呢？在戀愛中，向量v喜歡去爬山，向量Av喜歡玩游戲，他們一起度過許多美好時光。
結婚后，向量Av的責任變多了，要撐起這一個家，把更多心思花在孩子教育上，興趣愛好變少了（上圖中容易看出這時候向量Av相對向量v來說“縮短”了）。責任對應的特征值大於1（伸長），興趣愛好對應的特征值小於1（縮短）。
隨着時間的流逝（上下移動v）我們還發現，有兩條直線上有着v和Av的所有蹤跡，這就是他們的生活空間（特征空間）。換句話說，特征空間包含所有的特征向量。
下面的一個類比可以幫助我們更好的理解特征值和特征向量：
如果把矩陣看作是運動，那么特征值就是運動的速度，特征向量就是運動的方向。
特征向量在一個矩陣的作用下作伸縮運動，伸縮的幅度由特征值確定。特征值大於1，所有屬於此特征值的特征向量變長；特征值大於0小於1，特征向量縮短；特征值小於0，特征向量縮過了界，反方向到原點那邊去了。
為了讓模友們看清楚它們的變化，超模君做了幾個動圖，我們來感受一下吧：
（1）首先，我們通過改變向量v的位置，看看向量Av有什么變化（矩陣A不動噢）
（2）然后，我們不要動向量v，改變矩陣A每一列（通過移動a1和a2），再看看向量Av有什么變化
（3）接下來是見證奇跡的時刻！看看超模君的金手指怎么移動向量v使它變成特征向量吧！（不好意思，在上移的時候手抖了一下）
（4）最后，我們改變矩陣A（通過移動a1和a2），重點看看特征空間（S1和S2）是怎么變化（特征值也會發生變化喲）
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特征值和特征向量的應用
說了這么多，可能有模友會問：到底特征值和特征向量有什么用呢？不會僅僅用來考試吧！
其實，特征值和特征向量在我們的生活中都是非常普遍的。
(1)可以用在研究物理、化學領域的微分方程、連續的或離散的動力系統中。例如，在力學中，慣量的特征向量定義了剛體的主軸。慣量是決定剛體圍繞質心轉動的關鍵數據；
(2)數學生態學家用來預測原始森林遭到何種程度的砍伐，會造成貓頭鷹的種群滅亡；
(3)著名的圖像處理中的PCA方法，選取特征值最高的k個特征向量來表示一個矩陣，從而達到降維分析+特征顯示的方法，還有圖像壓縮的K-L變換。再比如很多人臉識別，數據流模式挖掘分析等方面。
(4)在譜系圖論中，一個圖的特征值定義為圖的鄰接矩陣A的特征值，或者（更多的是）圖的拉普拉斯算子矩陣，Google的PageRank算法就是一個例子。
有一句話說得好：“只要有振動就有特征值，即振動的自然頻率”。如果你曾經彈過吉他，你已經求解了一個特征值問題。。。
