最近回顧了一下對稱群的表示。下面記$X$的對稱群$\mathfrak{S}_X=\{X\stackrel{f}\to X:\textrm{$f$是雙射}\}$，並記$\mathfrak{S}_n=\mathfrak{S}_{\{1,\ldots,n\}}$。
熟知以下結果
- $\mathfrak{S}_n$共軛類由置換的『型』分類，具體來說是$n$的分拆$\mu:\mu_1\geq \ldots \geq \mu_k$使得$\mu_1+\ldots+\mu_k=n$，『型』為$\mu$的元素形如$$(a_1\ldots a_{\mu_1})(b_1\ldots )\ldots (c_1\ldots c_{\mu_k})$$而共軛作用體現在輪換上是$$\sigma(a\,b\,\ldots\,c)\sigma^{-1}=(\sigma(a)\,\sigma(b)\,\ldots\,\sigma(c))$$
- $\mathfrak{S}_n$的一維表示只有平凡表示和$\sgn$。
- 每一個分拆$\mu:\mu_1\geq \ldots \geq \mu_k$都對應一個Young圖，從上至下第$i$行從左排列$\mu_k$個方格。而給這$n$個方格填入$1$到$n$后被稱為Young表。
以下證明是我自己改寫的，或許比很多常見證明簡潔很多，不過沒有本質的不同。
下面我們開始建立對稱群的表示論。下面固定$n$，以及特征不整除$n ! $的域$k$，即特征大於$n$或特征為$0$。
定義（Young表）給一個Young圖$n$個方格填入$1$到$n$后被稱為Young表，原本的Young圖被稱為Young表的型。顯然$\mathfrak{S}_n$自然地作用在同型的Young表上。
定義（行群，列群）對於Young表$t$，定義行群和列群$$R_t=\{\sigma\in \mathfrak{S}_n: \textrm{$\sigma$保持每行元素不變}\}\qquad C_t=\{\sigma\in \mathfrak{S}_n: \textrm{$\sigma$保持每列元素不變}\}$$並且定義行和與列交錯和$$r_t=\sum_{\sigma\in R_t} \sigma \qquad c_t=\sum_{\sigma\in C_t}\sgn(\sigma) \sigma$$
我們采取的方法是直接從群環直接構造出不可約模，間接但是便於把握的方法可見李文威的講義 Yanqi Lake Lectures on Algebra Part I 。證明的關鍵是如下的性質。
命題 關於行群與列群，有如下的結論
- $\sigma R_t\sigma^{-1}=R_{\sigma t}$，並且$\sigma\in R_{t}$時，$R_t=R_{\sigma t}$。
- $\sigma C_t\sigma^{-1}=C_{\sigma t}$，並且$\sigma\in C_{t}$時，$C_t=C_{\sigma t}$。
- （行列關系）如果$t,s$是同型的Young表，那么下列兩情況必居且僅居其一$$C_t\cap R_s \textrm{含對換}\qquad C_t t\cap R_s s \neq \varnothing$$
- （比較定理）如果按照字典序$t$的型嚴格小於$s$的型，那么$$C_t\cap R_s\textrm{含對換}$$
證明 前兩條是顯然的。『行列關系』注意到不含對換當且僅當『$s$同一行的不同元素在$t$中在不同列』。而這一條件說明可以變換對$t$作$C_t$變換，對$s$作$R_s$變換化成同一個Young表，具體來說先將$t$的第一行所有元素變成$s$第一行的所有元素，然后再變動第二行以下的行，以此類推，每次不會變動已經完成的行，最終和$s$每行元素都相同。反之亦然。為了看到『比較定理』，假設在第$i$行$t$的元素開始少於$s$的元素，注意到根據前兩條，和類似『行列關系』的算法，可以假設$s,t$前$i-1$行都相同，這樣，$s$第$i$行必定有元素落在$t$的同一行。$\square$
命題 關於行和與列交錯和，有如下的結論
- $\sigma r_t\sigma^{-1}=r_{\sigma} t$，並且$\sigma\in R_t$時，$\sigma r_t = r_t\sigma =r_t$，從而$r_{\sigma t}=r_t$。
- $\sigma c_t\sigma^{-1}=c_{\sigma} t$，並且$\sigma\in C_t$時，$\sigma c_t=c_t\sigma=\sgn(\sigma)c_t$，從而$c_{\sigma t}=c_t$。
- （行列關系）如果$t,s$是同型的Young表，則$$C_t\cap R_s \textrm{含對換}\iff c_tr_s=0$$
- （比較定理）如果按照字典序$t$的型嚴格小於$s$的型，那么$$c_tr_s=0$$
證明 前兩條同樣是顯然的。根據上一個命題，在前一種情況，可以直接計算$c_t r_s=c_t(\textrm{對換}) r_s=-c_tr_s$，故$c_tr_s=0$，在后一種情況，存在$c\in C_t, r\in R_s$使得$ct=rs$，故$c_tr_s=c_{ct}r_{rs}=c_{rs}r_{rs}$，故只要說明對任意Young表$t$，$c_{t}r_t\neq 0$即可，考慮常數項即可。『比較定理』則是類似的。$\square$
比較定理還可以放松字典序的條件，只需要存在$i$使得$t$前$i$行方格數加起來不超過$s$前$i$行方格數加起來，這樣算法需要修改成將$t$第一行放置在$s$行數盡可能小的數，具體細節留給讀者。好在字典序已然夠用。有了上述准備工作，我們下面開始最終定理的陳述。
定義 對每個Young圖$t$，定義$e_t=c_tr_t$。
定理 $\mathfrak{S}_n$的所有不可約表示都同構於$k[\mathfrak{S}_n]e_t$，同構當且僅當型相同。
為此我們需要一個技術化的引理。
引理 對於任意$x\in \mathfrak{S}_n$，
- （行列關系）$c_txr_t\in k\cdot c_tr_t=k\cdot e_t$。
- （比較定理）如果按照字典序$t$的型嚴格小於$s$的型，那么$c_txr_s=0$。
證明 『行列關系』注意到$c_txr_t=c_tr_{xt}x$，如果$c_tr_{xt}=0$，那么已經完成證明，否則根據上面的命題，$C_tt\cap R_{xt}(xt)=C_tt\cap xR_{t}x^{-1} (xt)\neq \varnothing$，這樣$x\in C_tR_t$，這樣$x$被兩邊吸收得證。『比較定理』證明同樣，不過更加簡單。$\square$
推論 對於任意$x\in \mathfrak{S}_n$，
- （行列關系）$e_txe_t\in k\cdot e_t$。
- （比較定理）如果按照字典序$t$的型嚴格不等於$s$的型，那么$e_txe_s=0$。
證明 顯然。$\square$
下面我們開始證明。
證明 證明分幾步。
- $k[\mathfrak{S}_n]e_t$是不可約表示。這是因為任何非零子模$M$（是$k[\mathfrak{S}_n]$的左理想），根據推論『行列關系』$e_t M\subseteq k\cdot e_t$，如果$e_tM = k\cdot e_t$，那么$e_t\in M$故$M=k[\mathfrak{S}_n]e_t$。如果$e_tM=0$，這說明$M\cdot M= 0$，但是根據Maschke定理，$M$是$k[\mathfrak{S}_n]$的直和項，內含冪等元，這是不可能的。
- 同型的$t,s$對應的$k[\mathfrak{S}_n]e_t$和$k[\mathfrak{S}_n]e_s$是同構的。顯然，二者僅僅相差一個共軛。
- 不同型的$t,s$對應的$k[\mathfrak{S}_n]e_t$和$k[\mathfrak{S}_n]e_s$不是同構的。根據上面推論的『比較定理』$e_t[\mathfrak{S}_n]e_s=0$，但和第一段相同的理由$e_t[\mathfrak{S}_n]e_t\neq 0$。
- $k[\mathfrak{S}_n]e_t$給出所有不可約表示。因為特征的理論，不可約表示的數目小於等於共軛類數目，熟知Young圖數目和分拆數相等，$\mathfrak{S}_n$的共軛類和分拆數也相等。
命題得證。$\square$
以上結果還說明任何特征不整除$n !$的域$k$都是$\mathfrak{S}_n$的分裂域（即Schur引理所斷言的除環均是自身）。
最后需要指出，對稱群表示的話題遠沒有結束，我們還沒有計算出維數特征以及和Young圖的聯系，更具體的討論可見Fulton & Harris Representation Theory A First Course。