群論第五章轉動群（2）老師說伴隨表示要求學會

用參數 $\vec{ω}$ 描寫 $S O (3)$ 群的元素 $R (\hat{n}, ω)$
優點：幾何意義清楚, 它代表矢量繞 $\hat{n}$ 方向轉動 $ω$ 角的變換
群空間恆元的鄰域內，參數與群元素一一對應
缺點: 由 $R$ 矩陣的具體形式確定這組參數較麻煩；由動坐標系 $K^{'}$ 相對定坐標系 $K$ 的位置確定轉動參數較困難
應用：常用於理論研究
用歐拉角 $(α, β, γ)$ 描寫 $S O (3)$ 群的元素 $R (α, β, γ)$
優,點: $S O (3)$ 群的任意元素可表示為三個繞坐標軸轉動的乘積
由繞坐標軸轉動元素的表示矩陣可確定任意元素的表示矩陣

原因見北大群論書196至198頁求出 $S O (3)$ 群的元素 $R (α, β, γ)$ 的過程，就可以知道。

缺點：群空間恆元的鄰域內，參數與群元素多一對應
應用：常用於實際計算，計算時求歐拉角的方法：見作業題

2） $S O (3)$ 群的元素 $R (α, β, γ)$

根據北大群論書196至198頁求出 $S O (3)$ 群的元素 $R (α, β, γ)$ 的過程，得到

（60）

這個參數范圍與北大群論書不同。以北大群論書為准。

根據北大群論書196頁圖5和（60）知道，當 $β = 0$ 時 $, R (α, 0, γ)$ 是繞 ${\vec{e}}_{3}$ 軸轉動 $α + γ$ 角的變換 , $α + γ$ 相同的操作對應的是同一個SO（3）群中的元素， $α$ 和 $γ$ 中只有一個是獨立的 $\Rightarrow$ 在恆元附近（根據(6)知道，當 $α + γ$ 很小時，對應的R是恆元附近的一個R）, 歐拉角參數與群元素是多一對應的
在 $β = π$ 鄰近也有類似的多一對應關系（只能確定 $α - γ)$ , 這是歐拉角參數的缺點
北大書說，在一些特殊情況下，多種歐拉角的組合對應同一個轉動，不過我們寫成SO（3）群矩陣表示（60）時，這種多種組合的表示又會歸一到同一個矩陣表示。

3）歐拉角的兩種含義：

三維轉動變換R可分解為繞定坐標系的坐標軸的三個轉動的乘積（一個矢量先繞定坐標軸z軸轉 $γ$ ，再繞定坐標軸y軸轉 $β$ ，最后繞定坐標軸z軸轉 $α$ ），也可分解為繞動坐標系的坐標軸的三個轉動的乘積（見北大群論書），二者乘積次序正好相反（背）：

這個分解的原因見北大群論198頁R的表達式的上一行。

4）歐拉角參數化和 $ω 、 θ 、 ϕ$ 參數化之間的關系：

C語言中arctan是有兩個參數的。才能確定值。
下面會講，SU(2)群的自身表示就是SU(2)群的表示。

2.SU（2）群的不可約表示

以前第二章講的 $C_{n} 、 D_{n} 、 T 、 I$ 等其實都是SO（3）的子群， $C_{n} 、 D_{n} 、 T 、 I$ 等的表示我們已經在第三章清楚了。

將SU（2）群的元素u看作二維復向量空間的幺正變換（這是因為u是幺正的，故稱為幺正變換）

$ξ, η$ 的 $n$ 次齊次函數構成的 $n + 1$ 維函數空間是 $S U (2)$ 的不變函數空間，這個就是表示空間。

比如第三章講了， $ξ^{2} 、 η^{2} 、 ξ η$ 這三個n=2的二次函數一定構成一個3維不變函數空間，根據可以知道是一個3維不變函數空間。
取n+1個線性無關的基為：

這樣取基是為了使得求出來的表示是幺正的。

根據此基的表達式可以知道，這是 $ξ, η$ 的 $2 j$ 次齊次函數，即 $n = 2 j$
j和 $ν$ 的物理意義見北大群論204頁。寫得好。而這個ppt沒寫。
j的意義：j標記一個表示空間，一個j對應一個表示空間，它是一個函數空間。也即一個j對應一個表示。
$ν$ 的意義：對一個特定的j，即對一個表示空間，有不同的基，這些基用 $ν$ 來標記，根據上面的公式知道，一共有 $2 j + 1$ 個基，即 $2 j + 1$ 維的函數空間。（n+1維的函數空間）

根據第三章知道，求表示的方法：

$P_{u}$ ：與 $u$ 對應的函數變換算符 $P_{u}$

下面求2個重要的表示矩陣：

a.繞 $x_{3}$ 軸轉動 $ω$ 角元素的表示矩陣

這就得到了表示矩陣的矩陣元：

從此可以知道，表示矩陣是對角的。

原因見北大群論書205頁

b.繞 $x_{2}$ 軸轉動 $ω$ 角元素的表示矩陣

這就得到了這個元素對應的表示矩陣的矩陣元：（具體表達式和參數n的范圍見北大群論書，ppt沒有說清楚）
這里的其實就是高量中角動量理論中的d矩陣。注意這個矩陣是實正交矩陣。

得到的過程見北大群論206、207頁。

幾個特殊的矩陣

這個實際上就和SU（2）群中繞y軸轉 $ω$ 的元素u

注意這里，行、列指標 $μ 、 ν$ 按 $j, j - 1, \dots, - (j - 1), - j$ 的次序排列，例如

SU（2）群的不可約表示及其性質

完整的一個SU（2）群中的元素u所對應的表示空間 $L^{j}$ 中的表示矩陣的矩陣元為：（背）
（65）

證明見北大群論書，寫得更好

性質：

注意這里在矩陣中，行、列指標 $μ 、 ν$ 按 $j, j - 1, \dots, - (j - 1), - j$ 的次序排列。故知， $D^{j}$ 是 $2 j + 1$ 維表示 $, j = 0, 1 / 2, 1, 3 / 2, 2, \dots$

這是因為前面已經說了， $n = 2 j$ ，其中n是整數，故j取以上的值。
可以證明， $d^{j}$ 是實正交矩陣， $D^{j}$ 是幺正表示

老師沒說怎么證明
$j = 0$ 時，表示空間是一維的，表示是一維恆等表示：

原因見北大群論208頁
$j = 1 / 2$ 時，表示空間是二維的，表示是SU（2）群的自身表示：
= $(\begin{array}{cc} \cos \frac{β}{2} e^{- i (α + γ) / 2} & - \sin \frac{β}{2} e^{- i (α - γ) / 2} \\ \sin \frac{β}{2} e^{i (α - γ) / 2} & \cos \frac{β}{2} e^{i (α + γ) / 2} \end{array})$

原因見北大群論208頁
$j = 1$ 時，表示空間是三維的，表示等價於SO（3）群的自身表示
根據北大群論書中的方法，根據（65）可以求出表示（其實基也可以根據204頁基的表達式求出來）
=......
可以證明：存在相似變換矩陣M：，使得，即知道，表示等價於SO（3）群的自身表示。
其他j的情況也可以類似求出來。
轉相同角度的元素構成一類,即SU(2)群中元素 $u (\hat{n}, ω)$ 的 $ω$ 都相同的元素構成一類。由繞 $x_{3}$ 軸轉 $ω$ 角元素的表示矩陣得轉角為 $ω$ 的類在 $D^{j}$ 表示的特征標為
（68）
當j=1/2時，，這不奇怪，因為SU(2)群自身表示的特征標可以求出就是。當j=1時，。
對緊致李群，特征標的模方對群參數的帶權積分等於1，則它就是不可約表示。這里求出的特征標公式（68）滿足SU（2）群的不等價不可約表示特征標的正交關系：

故：不同 $j$ 的表示 $D^{j}$ 是 SU(2) 群的不等價不可約表示
不同 $j$ 的表示 $D^{j}$ 構成了 SU(2) 群的所有不等價不可約表示

證明沒時間，算了。
當 $j$ 為半整數時 , 可以證明 $D^{j} (u) = - D^{j} (- u)$ ，故 $D^{j} (u)$ 是 $S U (2)$ 群的真實表示。也即，當j為半整數時，表示為奇表示。（見北大群論208）
當 $j$ 為整數時 , 可以證明 $D^{j} (u) = D^{j} (- u)$ ，故 $D^{j} (u)$ 是 $S U (2)$ 群的非真實表示。也即，當j為整數時，表示為偶表示。

以上公式的證明見北大群論207、208頁。老師也講了一個證明，見課，沒時間，算了。
，一對多，G中的元素更多。確實，以上結論得證。
$S U (2)$ 群不可約表示的生成元
復習表示的生成元：

因為我們已經知道不可約表示矩陣（65），故根據這個公式，可以求出不可約表示的3個生成元。但是ppt上選擇的三個參數對應的生成元並不是歐拉角分解為繞動坐標軸轉動的三個參數 $α 、 β 、 γ$ ，也不是 $\vec{ω}$ 的球坐標 $ω 、 θ 、 ϕ$ ，而是和歐拉角的另一個含義有關的三個參數，即前面講類似歐拉角時所說的繞定坐標軸的三個轉動的參數 $α 、 β 、 γ$ 。
SU(2)的元素u也可以分解為繞定坐標軸的三個轉動的乘積，參數為 $α 、 β 、 γ$ 。能這樣分解是因為北大群論書205頁u表達式的第二行。這里的 $α 、 β 、 γ$ 就是所選擇的參數，其對應的生成元為：

這些公式和馬書不同，可能老師打錯字了？

根據北大群論205至207頁就可以理解三個生成元確實是這樣求出來。我理解了。

以前講SO(3)與SU（2）的同態關系SU(2)的參數也取為SO（3）的 $\hat{n} 、 ω$ .

還有自共軛、實表示的內容，算了。見ppt，可能沒用。

3.SO(3)群的不可約表示

$S O (3)$ 群 1: 2 同態於 $S U (2)$ 群 , $S O (3)$ 群的不可約表示一定也是 $S U (2)$ 群的不可約表示

根據線性表示的定義“定義：若行列式不為零的 $m \times m$ 矩陣集合構成的群 $\underline{D(G) 与已知群 G 同构或同态}$ (背) (特別記住同態時一對多, 群G中的元素更多)，則矩陣群D(G) 稱為群 G 的一個 $m$ 維線性表示，簡稱表示。”，同態或同構，可以理解上面結論。
$S U (2)$ 群的不可約表示不一定是 $S O (3)$ 群的不可約表示
- 當 $j$ 為整數時 $, D^{j} (u) = D^{j} (- u)$ 是 $S U (2)$ 群的非真實表示，是 SO(3) 群的單值表示
  
  原因見北大群論209頁。
- 當 $j$ 為半整數時 $, D^{j} (u) = - D^{j} (- u)$ 是 $S U (2)$ 群的真實表示; 此時 $S O (3)$ 群的每一個元素都對應兩個矩陣，不能保持群的乘法規律，嚴格說不是 SO(3) 群的表示，稱為 SO(3) 群的雙值表示
  $D (R_{1}) D (R_{2}) = D (\pm u_{1}) D (\pm u_{2}) = \pm D (u_{1}) D (\pm u_{2}) = \pm D (\pm u_{1} u_{2}) = \pm D (R_{1} R_{2})$
  
  原因見北大群論210頁。根據北大群論211頁圖5.3就知道確實有 $D (R_{1}) D (R_{2}) = \pm D (R_{1} R_{2})$ 。
荷載 $S O (3)$ 群不可約表示 $D^{l}$ 的基可以是球諧函數，見1.7節

4.O（3）群的不可約表示

沒時間。

1.4節李氏定理

4.伴隨表示

1）伴隨表示的生成元

之前講過，g維伴隨表示描寫生成元在共軛變換中的變換性質：

其中
取R為無窮小元素，有：
根據前面所講的無窮小元素的表示矩陣
知道，

注意右邊的是因為是無窮小元素的矩陣元而不是矩陣。

得： $[I_{l}, I_{j}] = \sum_{k} I_{k} {(I_{l}^{a d})}_{k j}$
又根據李氏第二定理得： $[I_{l}, I_{j}] = i \sum_{k} C_{l j}^{k} I_{k}$
根據以上兩個公式，得：
其中是伴隨表示的生成元。說明伴隨表示的生成元是由李群的結構常數來決定的。
容易證明，這組生成元滿足：.

2）求伴隨表示

通常伴隨表示並不由其定義式通過微商計算，也不由其生成元通過解微分方程計算，而是通過把已知的表示生成元和 ${(I_{l}^{a d})}_{k j} = i C_{l j}^{k}$ 比較來確定
例如， $S O (3)$ 群和 $S U (2)$ 群有相同的結構常數，其伴隨表示的生成元為
（70）
這就說明伴隨表示的生成元是 $S O (3)$ 群自身表示的生成元。這不奇怪，因為以前證明過， $S U (2)$ 群的伴隨表示就是 $S O (3)$ 群自身表示。
（70）還說明，SO（3）群和SU（2）群的伴隨表示就是SO3）群的自身表示（背）。
對SO（3）群的自身表示，根據知，可以直接計算，過程省略，得：

這也說明了SO（3）群的伴隨表示就是它的自身表示。

3）微量微分算符

a.重要公式

以前說過，SO（3）群的微量微分算符是軌道角動量算符，根據前面說的微量微分算符的共軛變換：

知道，

因為對SO（3）、SU(2)群來說，其伴隨表示就是自身表示 $\R_{k j}$ .

在上面公式中取一個特殊的R： $R = R (ϕ, θ, 0) = S (ϕ, θ)$ , 則 $R_{k 3}$ 是單位矢量 $\hat{n} (θ, ϕ)$ 的分量。

原因： $R = R (ϕ, θ, 0) = S (ϕ, θ)$ 中的R的三個參數是歐拉角，看成繞定坐標軸的轉動，根據知道， $R (ϕ, θ, 0)$ 是先繞y方向轉 $θ$ ，再繞z方向轉 $ϕ$ ，

故這特殊的R就是前面介紹SO(3)群時說過的將 $x_{3}$ 軸上的點轉到 $\hat{n} (θ, ϕ)$ 方向的變換 $S (ϕ, θ)$ .

取j=3，得到：
（背）（72）
其中R是將 $x_{3}$ 軸上的點轉到 $\hat{n} (θ, ϕ)$ 方向的變換 $S (ϕ, θ)$ .

證明：

b.這個公式在物理上的應用：

若 $ψ_{m}^{l} (x)$ 是屬 $S O (3)$ 群不可約表示 $D^{l} m$ 列的函數（即 $ψ_{m}^{l} (x)$ 是荷載這個 $S O (3)$ 群不可約表示 $D^{l}$ 的基，比如后面說了球諧函數就是屬 $S O (3)$ 群不可約表示 $D^{l} m$ 列的函數），則：

證明：

我覺得這里的 $l$ 其實相當於前面不可約表示一節中的j：

因為 $L_{3}$ 是微量微分算符，是算符，故根據上面公式和(老師說應該是根據
的過程來求出微量微分算符 $L_{3}$ 的矩陣形式，即此微量微分算符在所給定的這個表示中的生成元，推導過程估計復雜，老師沒講推導），得：
；
同理可以知道 $L_{1} 、 L_{2} 、 L_{3}$ 作用於基上的公式，再根據 $L^{2} = L_{1}^{2} + L_{2}^{2} + L_{3}^{2}$ 可以得到：

根據以上，有：

又根據和可以知道

故 $P_{R} ψ_{m}^{l} (x)$ 為 ${\vec{L}}^{2}$ 和 $\vec{L} \cdot \hat{n} (θ, ϕ)$ 的共同本征函數，本征值分別為 $l (l + 1)$ 和 $m$ .
注意前提條件：其中R是將 $x_{3}$ 軸上的點轉到 $\hat{n} (θ, ϕ)$ 方向的變換 $S (ϕ, θ)$ .
例如若將 $\hat{n} (θ, ϕ)$ 取為x軸，則 $P_{x} ψ_{m}^{l} (x)$ 為 ${\vec{L}}^{2}$ 和 $\vec{L_{x}}$ 的共同本征函數.
共同本征函數 $P_{R} ψ_{m}^{l} (x)$ 的求法是：根據前面SO(3)的不可約表示一節的知識可以求出表示矩陣元，再根據就可以求出共同本征函數。

1.5節 SU（2）群直乘表示的約化沒時間，和CG系數有關，以后需要的時候再學吧

1.7節物理應用

1.球諧函數 $ψ_{m}^{l} (x)$ ：是荷載這個 $S O (3)$ 群不可約表示 $D^{l}$ 的基

球對稱系統的對稱變換群是SO（3）群，所謂的系統具有SO（3）對稱性就是指系統的哈密頓量H（x）在轉動變換中保持不變。對無自旋系統，

不變，就說明變換后還等於H(x)

設能級 $E$ 是 $n$ 重簡並的，有 $n$ 個線性無關的本征函數 $ψ_{μ} (x)$ , 它們荷載 SO(3) 群的表示

其中 $P_{R}$ 是SO(3) 群中元素R對應的算符，故知， $D_{v μ} (R)$ 就是SO(3)群的表示的矩陣元。

以上公式的原因：第三章中：

此表示通常是可約的，將其按 SO(3) 群的不可約表示約化

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} X^{- 1} D (R) X & = \underset{l}{θ} a_{l} D^{l} (R) \\ χ (R) = \sum_{l} a_{l} χ^{l} (R) \\ a_{l} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} \sin^{2} \frac{ω}{2} χ^{l} (ω) χ (ω) d ω \end{aligned} \end{matrix}

以上就是荷載不可約表示的基

這是因為這個基荷載不可約表示，見第三章。

類似伴隨表示一節的方法，可以得到：

即：屬 $S O (3)$ 群不可約表示 $D^{l} m$ 列的函數，是 $L^{2}$ 和 $L_{3}$ 的共同本征函數
（以上的過程是從群論的角度求共同本征函數的方法）

徑向函數在轉動變換中不變，故角度函數 $Y_{m}^{l} (θ, ϕ)$ 是屬 $S O (3)$ 群不可約表示 $D^{l} m$ 列的函數（即 $ψ_{m}^{l} (x)$ 是荷載這個 $S O (3)$ 群不可約表示 $D^{l}$ 的基） , 是 $L^{2}$ 和 $L_{3}$ 的共同本征函數, 稱為球諧函數（背）

后面還有標量場、矢量場、旋量場、球諧函數、總角動量算符、不可約張量算符、Wigner- Eckart定理等沒聽。總角動量算符和旋量場這一節可能很重要，和自旋軌道耦合有關。