群論第五章轉動群（高溫超導有SO(5)李群、電子自旋是SU(2)群，hubbard模型有so(4)群，重要）

采用系統轉動的觀點；如右圖建立直角坐標系K
任意點 $P$ 由矢量 $\vec{r}$ 或坐標 $x = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})$ 描述: $\vec{r} = \sum_{a = 1}^{3} {\vec{e}}_{a} x_{a}$
設轉動 $R$ 把 $P$ ,點轉到 $P^{'}$ 點 $, P^{'}$ 點位置矢量為 $\vec{r^{'}}$ ，坐標為 $x^{'} = (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \\ x_{3}^{'} \end{matrix})$ ：

1）空間轉動變換的特點：保持原點不變、兩點間距離不變、手征性不變

a.保持原點不變 $\Rightarrow x$ 與 $x^{'}$ 之間的坐標變換是齊次的

如果不是齊次的就意味着平移

實際上空間轉動變換也是線性的，因為3維空間是線性空間。將一個矢量轉動到另一個矢量，實際上是反映了線性變換（見為知筆記線性代數的本質），根據“線性代數的本質”知道，線性變換其實和矩陣乘法相聯系，有：這種空間轉動變換是：

（1）

b.保持兩點間距離不變 $\Rightarrow R$ 是實正交矩陣

$x_{1}^{' 2} + x_{2}^{' 2} + x_{3}^{' 2} = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}$ 即：

代入（1）得到：

根據“正交矩陣： $R^{T} R = R R^{T} = 1$ ，實正交矩陣：矩陣元都是實數的矩陣”，故知道：空間轉動變換的矩陣為實正交矩陣。

c.保持手征性不變 $\Rightarrow R$ 的行列式為 1

”R的行列式為1“的證明：

建立固定在系統上的坐標系 $K^{'}$ , 其單位矢量為 ${\vec{e}}_{a}^{'}$ , 則
轉動后的矢量可以用以前的基來展開，也可以用 $K^{'}$ 系的基來展開：
（3）

證明:
轉動變換保持系統的手征性不變：即固定在系統上的坐標系的手征性不變：左手系轉動之后還是左手系，右手系轉動之后還是右手系。
坐標系的手征性是用單位矢量的混合積來確定的，對右手系：混合積為1，即 ${\vec{e}}_{1} \cdot ({\vec{e}}_{2} \times {\vec{e}}_{3}) = 1$ ，對左手系：混合積為-1.
手征性不變意味着固定在系統上的坐標系的單位矢量的混合積在變換前后都是1，即

得證，R的行列式為1

2）結論：三維空間的固有轉動變換由幺模實正交矩陣（即行列式為1的實正交矩陣）描寫（背）

幺模矩陣：行列式為1的矩陣

3）補充：三維空間的非固有轉動變換由行列式為-1的實正交矩陣描寫

根據第一章線性代數知道，實正交矩陣的行列式只能是 $1 或 - 1$ （背），分別對應固有轉動和非固有轉動

證明:因為行列式和轉置行列式相等。
非固有轉動元素是固有轉動元素和空間反演 $σ$ 的乘積，描寫轉動變換后再做空間反演變換

和固有轉動不同，對非固有轉動（有空間反演），手征性會改變。因為非固有轉動也保持兩點間距離不變，故其R也是實正交矩陣，但類似前面c.的證明，可以證明非固有轉動對應的行列式為-1（這是因為手征性改變）
非固有轉動改變系統的手征性

2.SO（3）群及O（3）群

$S O (3)$ 群（三維轉動群、三維幺模實正交矩陣群）：

三維幺模實正交矩陣 $R (\hat{n}, ω)$ , 描寫一個矢量繞三維空間 $\hat{n}$ 方向轉動 $ω$ 角的變換，按照矩陣的乘積規則，它的集合構成群，稱為三維轉動群，記作 SO(3) 群，其中 S 代表幺模，O 代表實正交

$O (3)$ 群(三維實正交矩陣群)：

三維實正交矩陣的集合，按照矩陣的乘積規則構成群，稱為三維實正交矩陣群，記作 O(3) 群，它描寫三維轉動變換和空間反演變換

** O(3) 群元素的個數是SO(3)的兩倍**，因為其行列式可以是1或-1，
** O(3) 群是SO(3)和 $V_{2}$ 的一個直乘，直乘群，即 $O (3) = S O (3) \otimes V_{2}$ ，SO(3)群是O(3)的不變子群**，因為其指數是2.

$C_{2} \approx V_{2} : C_{2}$ 群與 $V_{2}$ 群同構。故 $C_{2}$ 群也稱 $V_{2}$ 群。

3.幾個特殊的轉動

1）繞 $x_{3}$ 軸轉 $ω$ 角的變換的轉動矩陣

構造一些輔助線可以證明，我證明了

繞z軸轉 $ω$ 角的變換的轉動矩陣的指數形式：

證明:

繞 $x_{1}$ 軸、 $x_{2}$ 軸的轉動變換矩陣及其指數形式：

其中T矩陣（以后會說它是生成元）的矩陣元滿足：
（背）
T矩陣是無跡厄米矩陣： $Tr T_{a} = 0, T_{a}^{†} = T_{a}$

根據三個軸的循環對稱性，容易得到繞 $x_{1}$ 軸、 $x_{2}$ 軸的轉動變換矩陣。或者同理直接證明。

2）將 $x_{3}$ 軸上的點轉到 $\hat{n} (θ, ϕ)$ 方向的變換 $S (ϕ, θ)$ ：

轉動步驟：先繞y軸轉 $θ$ ，再繞z軸轉 $ϕ$
1）在 $x_{1} - x_{3}$ 平面 $,$ 先繞 $x_{2}$ 軸轉 $θ$ 角
2) 繞 $x_{3}$ 軸轉 $ϕ$ 角

從變換矩陣知道，S與 $θ, ϕ$ 有關

$S (ϕ, θ)$ 是SO(3)群的元素，但是 $S (ϕ, θ)$ 不方便用 $(ω, θ, ϕ)$ 來參數化，這是因為，故不方便。但 $S$ 可以很方便地用歐拉角來參數化，根據“歐拉角的兩種含義中的一種：三維轉動變換R可分解為繞定坐標系的坐標軸的三個轉動的乘積：，即一個矢量先繞定坐標軸z軸轉 $γ$ ，再繞定坐標軸y軸轉 $β$ ，最后繞定坐標軸z軸轉 $α$ .”可以知道， $S (ϕ, θ)$ 的歐拉角參數為 $(α, β, γ) = （ ϕ ， θ ， 0 ）$ （可能考）

根據這些矩陣，通過計算可以驗證：
（10）
其中：

3）繞任意 $n$ 方向轉動 $ω$ 角的變換

$S O (3)$ 群任意元素 $R (\hat{n}, ω)$ 的描寫方法：
繞任意 $n$ 方向轉動 $ω$ 角的變換可表示成三個轉動的乘積:
1) 把 $n$ 方向轉到 $x_{3}$ 方向 $: S^{- 1} (ϕ, θ)$
2) 繞 $x_{3}$ 方向轉 $ω$ 角 $: R ({\vec{e}}_{3}, ω)$
3) 把 $x_{3}$ 方向轉回到 $n$ 方向: $S (ϕ, θ)$

有點不嚴謹，因為 $R (\hat{n}, ω)$ 是一個矢量繞n方向轉 $ω$ 的變換矩陣，應該證明一下，當軸從 $n$ 方向轉到 $x_{3}$ 方向 $: S^{- 1} (ϕ, θ)$ 時，使用這個 $S^{- 1} (ϕ, θ)$ 也可以使這個矢量轉到對應位置。但我沒時間，沒證明這個。

背,可能考：繞任意 $n$ 方向轉動 $ω$ 角的變換的轉動矩陣： $\begin{matrix} (12) & R (\hat{n}, ω) = \exp [- i \vec{ω} \cdot \vec{T}] = \exp [- i \sum_{a = 1}^{3} ω_{a} T_{a}] \end{matrix}$
其中矢量 $\vec{ω} = ω \hat{n}$ ，其球坐標為 $(ω, θ, ϕ)$ ，直角坐標為 $(ω_{1}, ω_{2}, ω_{3}) = (ω s i n θ c o s ϕ, ω s i n θ s i n ϕ, ω c o s θ)$
注意 $2 π ϕ$ 這個口訣， $ϕ$ 最多是 $2 π$ 角度

證明:先證明：(11)

4）參數 $\vec{ω}$ （也即 $ω, θ, ϕ$ ）必須在半徑為 $π$ 的球體內連續變化

根據（12）知：
$S O (3)$ 群任意元素由參數 $\vec{ω}$ 描寫（即 $ω, θ, ϕ$ 三個參數來描寫） , 為了使得物理上的轉動和數學上的參數 $ω, θ, ϕ$ 一一對應，參數 $\vec{ω}$ 的范圍：參數 $\vec{ω}$ （也即 $ω, θ, ϕ$ ）必須在半徑為 $π$ 的球體內連續變化，此時，數學上球中的一個點和物理上的一個轉動一一對應；球體內的點和 $S O (3)$ 群（三維幺模實正交矩陣群）的元素 $R$ 一一對應，球面上直徑兩端的點代表同一個轉動。
因為球面直徑兩端的點分別代表繞n方向轉 $π$ 和繞-n方向轉 $π$ ，根據后面的圖1知，物理上是同一個轉動。

證明“參數 $\vec{ω}$ 的范圍”：
考慮物理上的轉動是否和數學上的參數 $ω, θ, ϕ$ 一一對應：

故物理上一個轉動 $\hat{n} ， ω$ 其實可能對應數學上的兩個參數 $\vec{ω}$ ，也即可能對應轉動矩陣 $\hat{R}$ 和 $\hat{R^{'}}$ .
故應盡量地將參數的變化范圍限制（比如 $ω$ 不能取 $ω + 2 π$ ），使得物理上的一個轉動，對應的數學上的參數 $ω, θ, ϕ$ 是唯一的，此時變換矩陣也就是唯一的。我們可以將 $\vec{ω}$ 的變化范圍縮小到半徑為 $π$ 的球體內，這是因為 $\vec{ω}$ 可以繞任意n方向轉，故是一個球體， $\vec{ω}$ 的大小 $ω$ 不能超過 $π$ ，因為繞某一個方向n轉 $ω = 181$ 度，相當於繞n方向的相反方向轉 $ω = 179$ 度，
（圖1）（圖2）
故 $ω$ 不能超過 $π$ ；當然， $\vec{ω}$ 中 $ω$ 范圍的最大值也不能小於 $π$ ，否則就不能刻畫某些轉動。

一些公式：

此式在物理上和數學上均成立：

$R (\hat{n}, 2 π) = 1$

物理上，一個矢量繞n方向轉2pi，和沒轉這個矢量是一樣的，故轉動矩陣確實等於1。但在數學上我驗證了不成立，因為 $R (\hat{n}, ω)$ 也可以通過 $R (\hat{n}, ω) = S (ϕ, θ) R ({\vec{e}}_{3}, ω) S^{- 1} (ϕ, θ)$ 、
、來直接計算，得到結果后可以發現 $R (\hat{n}, 2 π) =$
，其中a是 $ϕ$ .此結果並不等於1.

物理上，根據圖1知道。數學上，其實也不成立：

在物理上成立：

在物理上成立，但在數學上不成立（在數學上不是恆成立，只是一個規定）。

5）SO(3) 群中轉動相同角度的元素互相共軛，轉動相同角度的元素在一個類中，類由轉動角度 $ω$ 描寫

這里說繞任意軸，只要轉相同角度，都在一個類中。

證明：因為前面在求出繞n方向轉 $ω$ 的變換矩陣時，得到了：，這其實也就是共軛的定義，故繞任意n方向轉 $ω$ 和繞z方向轉 $ω$ 的元素共軛，第二章講了共軛的傳遞性，故轉相同角度的元素互相共軛。得證。

6）對於題目給出的一個轉動變換矩陣 $R (\hat{n}, ω)$ ，求轉動角 $ω$ 和軸的方向n的方法：

求出這個矩陣的跡，再令此跡等於 $2 \cos ω + 1$ ，既可求出轉動角 $ω$ .

證明：根據知道： $Tr R (\hat{n}, ω) = Tr R ({\vec{e}}_{3}, ω) = 2 \cos ω + 1$ .

求出變換矩陣R的本征值為1的本征矢量，再將這個矢量除以它的大小，即得到 $\hat{n}$ 或 $- \hat{n}$ 方向（但這個方法無法確定是 $\hat{n}$ 還是 $- \hat{n}$ ）：

證明: $R (\hat{n}, ω)$ 是一個矢量繞n方向轉 $ω$ 的變換矩陣，若這個矢量的方向就是在 $\hat{n}$ 或 $- \hat{n}$ 方向，則轉完之后還是在這個方向，故本征值為1.但是去求R的本征值為1的本征矢量時，求出來的矢量可能是沿着 $\hat{n}$ 方向，也可能是沿着 $- \hat{n}$ 方向，故這個方法無法確定是 $\hat{n}$ 還是 $- \hat{n}$ 。但實際上，給一個轉動矩陣，則其 $ω$ 和n方向是唯一確定的，只不過我們不能通過這個簡單的方法來求出是 $\hat{n}$ 還是 $- \hat{n}$ ，還需要其他方法來確定，這個其他方法就是用歐拉角來確定。

4.二維幺模幺正矩陣群（SU(2)群）

1）二維幺模 $(\det R = 1)$ 幺正 $(R R^{+} = R^{+} R = 1)$ 矩陣的集合，按照普通的矩陣乘積，滿足群的四個條件，構成群，記為 SU(2) 群

二維單位矩陣是幺模幺正的，一個幺模幺正的矩陣，其逆也是幺模幺正的；兩個幺模幺正的矩陣相乘也是幺模幺正的，故滿足群的條件。

2）SU（2）群的任意元素

設，幺模幺正的條件：
，，得到：
，故可以將SU（2）群的任意元素記為：

因為a，b都是復數，故可以知道：SU（2）群的任意元素包含三個獨立實參數。

3）用實矢量 $\vec{ω}$ 的球坐標 $(ω, θ, ϕ)$ 表示 $S U (2)$ 群任意元素的三個獨立實參數：

令
，可以驗證這樣令可以。
故SU（2）群的任意元素可以表示為：
（1）
其中 $(ω, θ, ϕ)$ 是 $S U (2)$ 群任意元素的三個獨立實參數。
$S U (2)$ 群任意元素的跡：
考慮到
（2）
將（1）、（2）對比，知道

SU（2）群的任意元素可以表示為（背，考試可能考）：

（3）
這個公式可以類比SO(3)群的元素公式來記憶：，其中 $\vec{T}$ 稱為SO(3) 群自身表示的生成元。而對SU(2)群： $\frac{\vec{σ}}{2}$ 就是SU(2)群自身表示的生成元。（u這個矩陣群是自身的一個表示，稱為自身表示）
其實后面還會發現 $\vec{T}$ 的對易關系和 $\frac{\vec{σ}}{2}$ 的對易關系也是一樣的，因為后面我們知道，一個是軌道角動量，一個是自旋角動量，它們都滿足角動量的對易關系。
記住：
（背）

4） $S U (2)$ 群的任意元素由參數 $\vec{ω}$ 描寫 $, \vec{ω}$ 在半徑為 $2 π$ 的球體內連續變化 , 球體內的點和元素 $u$ 一一對應，外球面上所有點都對應同一元素 -1

為了盡量縮小參數的變化范圍，使得數學上的一組參數和物理上的一個元素是對應的，比如如果縮小范圍，則根據（1）知道， $ω$ 和 $4 π + ω$ 對應的元素u是相同的；繞n方向轉 $ω$ 和繞-n方向轉 $- ω$ 對應的元素u是相同的（因為根據（3）知道，都取負號結果相同）；若 $ω = 4 π$ ，根據（1）知道，結果等於1，若 $ω = 2 π$ ，結果等於-1. 注意這和SO（3）群不同，SO（3）群是轉 $2 π$ 等於1.

證明：因為“繞n方向轉 $ω$ 和繞-n方向轉 $- ω$ 對應的元素u是相同的”，故

證明：

參數 $\vec{ω}$ 限制在半徑為 $2 π$ 的球體中的原因：

這時會發現球體內的點和元素 $u$ 一一對應，外球面上所有點都對應同一元素 -1

這是因為

和SO（3）群對比：球體內每個點代表一個元素，直徑兩端的點對應相同的轉動，即對應同一個元素R。

5） $S U (2)$ 群任意元素 $u (\hat{n}, ω)$ 的矩陣跡 $2 \cos \frac{ω}{2}$ （背）

6） $S U (2)$ 群 $ω$ 相同的元素互相共軛，構成一類

對進行泰勒展開可以證明：
根據和共軛定義知道，對任意軸方向 $\hat{n}$ ， $ω$ 相同的元素互相共軛

5.SO（3）群和SU（2）群的同態關系（重要）

1）二維無跡厄米矩陣 $X$ 和三維空間 $P$ 點的位置矢量 $\vec{r}$ 是一一對應的

以三維空間點P的直角坐標 $(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ 為參數，定義二維無跡厄米矩陣：

有：，故是無跡厄米的。
任何二維無跡厄米矩陣只包含三個獨立實參數，可展開為泡利矩陣的實線性組合：
可以證明：
、（6）

證明：，其他同理。
故知道，二維無跡厄米矩陣 $X$ 和 $P$ 點的位置矢量 $\vec{r}$ 是一一對應的，一個 $P$ 點的位置矢量就唯一地對應一個無跡厄米矩陣，一個無跡厄米矩陣也唯一地對應一個 $P$ 點的位置矢量.

2）

a.

取 $S U (2)$ 群的任意元素 $u (\hat{n}, ω)$ , 令
(7)（其實這就是對X進行幺正的相似變換）
$X^{'}$ 仍為無跡厄米矩陣, 且與 $X$ 有相同的行列式, 它對應空間 $P^{'}$ 點的位置矢量 ${\vec{r}}^{'}$ , 其中 ${\vec{r}}^{'}$ 和 $\vec{r}$ 差一轉動變換R
根據（7）得到：
（8）

證明：跡有輪換不變性，故跡不變。第一章線性代數復習時講過，幺正的相似變換中厄米矩陣保持其厄米性，故還是厄米的。因為矩陣相乘的行列式等於行列式相乘，故知道行列式相同。
因為二維無跡厄米矩陣 $X$ 和 $P$ 點的位置矢量 $\vec{r}$ 是一一對應的，故 $X^{'}$ 對應另外一個點 $P^{'}$ 點的位置矢量 ${\vec{r}}^{'}$ 。
因為行列式相等，根據（6）知道， $P$ 和 $P^{'}$ 點到坐標原點的距離相等，故 ${\vec{r}}^{'}$ 和 $\vec{r}$ 差一轉動變換。

b. $S O (3)$ 群的任一元素 $R (\hat{n}, ω)$ 都對應 $S U (2)$ 群一對元素 $\pm u (\hat{n}, ω)$ ，即SU(2)群的元素 $u (\hat{n}, ω)$ 和SU(3)群的元素 $R (\hat{n}, ω)$ 之間的關系

為求 $R$ , 將 $\vec{r}$ 分解為平行和垂直於 $\hat{n}$ 的分量: $\vec{r} = a \hat{n} + b \hat{m}, \hat{n} \cdot \hat{m} = 0$

其中利用了

故前面（8）式中的轉動變換矩陣R就是SO(3)群中繞 $\hat{n}$ 方向轉 $ω$ 的轉動變換矩陣 $R (\hat{n}, ω)$ ，即 $R \equiv R (\hat{n}, ω)$ .
現在知道了轉動變換矩陣就是繞 $\hat{n}$ 方向轉 $ω$ 的轉動變換矩陣后，就可以求出SU(2)群的元素 $u (\hat{n}, ω)$ 和SU(3)群的元素 $R (\hat{n}, ω)$ 之間的關系（背）：
（10）

證明：

后面會講，（10）其實就是說明了：SU(2)群的伴隨表示就是SO(3)群的自身表示。

c. $S O (3)$ 群和 $S U (2)$ 群 1: 2 同態（背）（北大群論書的證明更嚴謹）

$S U (2)$ 群的任一元素 $u (\hat{n}, ω)$ 都對應 $S O (3)$ 群一個確定元素 $R (\hat{n}, ω)$ ，這種對應關系對群元素乘積保持不變.

證明：因為 $u (\hat{n}, ω)$ 確定，則可以根據（1）式知道 $\hat{n}, ω$ 是確定的（不過應除去 $S U (2)$ 群中-1這個元素，因為-1可以對應整個球面），故可以根據 $\hat{n}, ω$ 求出 $R (\hat{n}, ω)$ 的表達式，故 $S U (2)$ 群的任一元素 $u (\hat{n}, ω)$ 都對應 $S O (3)$ 群一個確定元素 $R (\hat{n}, ω)$ （不過應除去 $S U (2)$ 群中-1這個元素，因為-1可以對應整個球面）。且 $u (\hat{n}, ω)$ 和 $R (\hat{n}, ω)$ 之間可以通過（10）式聯系起來。

這就證明了元素對應，元素乘積也對應，說明SO(3) 群與 SU(2) 群同構或同態。

G中的元素更多。

下面判斷是同構還是同態：
$S O (3)$ 群的任意元素 $R (\hat{n}, ω)$ 把坐標矢量 $\vec{r}$ 轉為 ${\vec{r}}^{'} :$

由於 $X$ 和 $X^{'}$ 都是二維無跡厄米矩陣，且行列式相同, 它們必可通過二維幺模幺正相似變換 $u \in S U (2)$ 聯系起來（這個結論應該數學證一下，沒時間，算了，見（7）式）
設聯系它們的相似變換為u1和u2，設 $u_{1} X u_{1}^{- 1} = u_{2} X u_{2}^{- 1} = X^{'}$
得 $u_{2}^{- 1} u_{1} X = X u_{2}^{- 1} u_{1}$
即 $u_{2}^{- 1} u_{1}$ 與所有 $X$ 對易，它必為常數矩陣，令 $u_{1} = λ u_{2}$
考慮到 det $u_{1} = \det u_{2} = 1$ , 則 $λ = \pm 1$ ，故 $u_{1} = \pm u_{2}$ .
這表明 , $S O (3)$ 群的任一元素 $R (\hat{n}, ω)$ 都對應 $S U (2)$ 群一對元素 $\pm u (\hat{n}, ω)$ ，對應規則為（背）： $u (\hat{n}, ω) \to R (\hat{n}, ω); R (\hat{n}, ω) \to u (\hat{n}, ω), u (- \hat{n}, 2 π - ω)$

這是根據可以知道的。

一個R和其對應的兩個u都表示在圖中了。

這個結論是從（10）式得到的，但是我覺得（10）只是求出來的u和R的一個關系，它是真的完全完備的對應關系嗎？所以我覺得這個證明可能有問題。正確證明見北大群論書，北大群論書用同態核定理確實嚴格證明了，北大群論書的證明是嚴謹的。

綜上 ,** $S O (3)$ 群和 $S U (2)$ 群 1: 2 同態 $* *, S O (3) \sim S U (2)$

1.2節李群

沒聽，但是生成元的內容可能很重要。先學場論吧。以后時間多着呢，很多年后可能有時間。

1.李群的組合函數

1）連續群的群空間及階數

連續群每一個群元素都可用一組在歐氏空間一定區域內連續變化的獨立實參數來描寫

比如SO（3）群每個群元素可以用三維參數空間半徑為pi的球體來描寫。
縮減參數的變化區域，使在測度不為零的區域，群元素和參數值一一對應
測度不為零的區域：維數等於群空間維數的區域

三維空間體積元 $r^{2} s i n θ d r d θ d ϕ$ ，而球面上dr=0，此時說其測度等於0，因為本來是三維的，但球面是二維的，維數比它低，測度就是0
群空間：參數的變化區域，
群空間的維數、連續群的階：獨立實參數的數目即群空間的維數，稱為連續群的階
SO（3）群的群空間：半徑為 $π$ 的球，群空間是3維的
SU（2）群的群空間：半徑為 $2 π$ 的球，群空間是3維的，球面的測度為0，在測度不為零的地方，即球體內，群元素和參數值一一對應

2）SO（3）群和SU（2）群的群空間

在半徑為 $π$ 的球體內， $S O (3)$ 群和 $S U (2)$ 群的元素一一對應
$S U (2)$ 群還有半徑從 $π$ 到 $2 π$ 的環所對應的元素，它們等於半徑為 $π$ 的球體中相應元素u的負值
SU(2) 群一對元素對應 SO(3) 群同一元素

3）SU(2) 群在物理上與自旋密切相關, 文獻中常說“旋量轉動 $4 π$ 角才恢復原狀“

SU(2) 群一對元素對應 SO(3) 群同一元素
通常把 $S U (2)$ 群的元素 $u (\hat{n}, ω)$ 也稱為繞 $\hat{n}$ 方向轉動 $ω$ 角的變換。
SU(2) 群在物理上與自旋密切相關, 文獻中常說“旋量轉動 $4 π$ 角才恢復原狀”
這是因為 $u (\hat{n}, 4 π) = 1$ 、 $u (\hat{n}, 2 π) = - 1$ ，即 $u (\hat{n}, 4 π)$ 這個2X2矩陣作用於兩分量的旋量上，得到的還是這個旋量，即旋量恢復原狀。因為“ $S U (2)$ 群的元素 $u (\hat{n}, ω)$ 也稱為繞 $\hat{n}$ 方向轉動 $ω$ 角的變換。”，故類比SO（3）群元素R作用於矢量是在將矢量繞n轉 $ω$ ，說 $u (\hat{n}, 4 π)$ 作用於旋量是在將旋量繞n轉 $4 π$ ，即說旋量轉 $4 π$ 角才恢復原狀。

3）組合函數

群空間測度不為零的區域內的點與群元素一一對應，可以等價地把群空間的點直接叫做群元素
連續群G的組合函數
設元素 $R \in G$ , 參數為 $(r_{1}, r_{2}, \dots, r_{g})$ , 簡寫為 $R (r_{1}, r_{2}, \dots, r_{g}) = R (r)$
對群元素的乘積 $R (r) S (s) = T (t), r$ 和 $s$ 唯一確定了 $t$ , 即t是r和s的函數，即 $g$ 個參數 $t_{k}$ 是 $2 g$ 個參數 $r_{i}$ 和 $s_{j}$ 的函數：

組合函數： $g$ 個函數 $f_{k} (r; s)$ 稱為連續群的組合函數

兩群元素乘積的參數是兩元素參數的函數，這個函數就是組合函數。

群的乘法關系確定群的本質特征，組合函數完全地描寫了群元素的乘積規則 $\to$ 群 $G$ 的組合函數完全地表征群 $G$

組合函數定義域是 $G \times G$ , 值域是 $G$ , 至少在有測度的區域是單值函數
比如SU（2）群，繞n方向轉pi的元素u和繞n方向轉pi的元素u乘起來，得到u(n,2pi)=-1，而球面上對應的元素就是-1，-1的參數有無窮多組，故這樣的乘就不是一一對應的。但在有測度的地方，組合函數是單值函數。

這是因為可以等價地把群空間的點直接叫做群元素。

即使很簡單的群，組合函數的具體形式往往也相當復雜，組合函數主要用於理論分析, 很少用來進行具體計算

4）李群

元素的集合構成群的條件用組合函數表述為：

注意恆元在群空間中是在哪：
對SO（3）群的群空間，其原點對應 $ω = 0$ ，根據群元素R的公式知道，R=1，即恆元。故恆元對應的是群空間的原點。
對SU（2）群也一樣。
李群：若組合函數是解析函數，則該連續群稱為李群
由於解析函數連續可微，李群可用微積分的工具來研究，它是至今研究最深入、最成功的無限群

2.李群的局域性質

群空間中群元素R的點的鄰域中各點對應的元素稱為R的鄰近元素
若把恆元的參數取為零（比如 $ω = 0$ ），恆元鄰近的元素的參數通常是無窮小量，恆元鄰近的元素稱為無窮小元素
無窮小元素與任意元素R的乘積，是R的鄰近元素
R的鄰近元素與 $R^{- 1}$ 相乘，得無窮小元素
無窮多個無窮小元素相繼乘到群元素 $R$ 上, 在群空間表現為由元素 $R$ 對應點出發的一條連續曲線 $\Leftrightarrow$ 群空間中若代表元素 $R$ 的點和代表恆元的點可通過連續曲線連接, 則 $R$ 可表為無窮多個無窮小元素的乘積

SO（3）、SU（2）滿足任何一個元素可以和恆元通過連續曲線連接。但是O（3）不行，O（3）的群空間實際上要分成兩個不連續的片，有兩個球，一個球是SO(3)，另一個球是跟它分離的，不是連續的。因為一個行列式是1，一個行列式為-1。
取恆元參數為零，將無窮小元素 $A (α)$ 和 $B (β)$ 乘積的參數作 Taylor 展開，保留至一階無窮小量：

證明：
又因為根據前面所說

這表明: 1）無窮小元素相乘, 參數相加
2) 互逆的無窮小元素的參數互為相反數, 即 $\bar{α} = - α$

因為互逆的兩個元素相乘等於恆元，故參數相加等於0，故2）得證。

因為無窮小元素相乘, 參數相加，故無窮小元素乘積次序可交換。

3.生成元和微量微分算符

群G中的無窮小元素在線性算符群 $P_{G}$ （線性算符群是描寫不變函數空間中函數的變換關系）和線性表示 $D (G)$ 中的性質？

1）微量微分算符

元素 $R$ 對應標量函數變換算符 $P_{R} : P_{R} ψ (x) = ψ (R^{- 1} x)$
取 $R$ 為無窮小元素 $A (α)$ , 將上式按 $\bar{α}$ 展開, 保留至一階無窮小量:

其中 $\bar{α}$ 是 $A^{- 1}$ 對應的參數。 $\bar{α}$ 也是無窮小量。上面公式是根據多元函數泰勒展開。

因為 $\bar{α} = 0$ 對應的 $A^{- 1}$ 是恆元，故得到第一項。第二項是進行了一個變量代換：

綜上，

其中 $I_{j}^{(0)}$ 為 $g$ 個微量微分算符 $： I_{j}^{(0)} = - {i \sum_{a} \frac{\partial (A x)_{a}}{\partial α_{j}} |}_{α = 0} \frac{\partial}{\partial x_{a}}$
只要參數是獨立的 $, I_{j}^{(0)}$ 就是線性無關的。

證明：比如對SO（3）或SU（2），有三個獨立實參數 $(ω, θ, ϕ)$ ，則根據微量微分算符的公式知道有3個線性無關的微量微分算符，這是顯然的，因為否則若這三個算符是線性相關的，說明其實只有兩個獨立的算符，即有兩個獨立實參數，這矛盾。故得證。

李群無窮小元素對標量函數的作用由微量微分算符完全描寫
若 $P_{R}$ 是幺正算符，則微量微分算符 $I_{j}^{(0)}$ 是厄米算符

證明：

例題1：SO（3）群的微量微分算符

根據前面鄰近元素、無窮小元素的定義知，將元素中的參數取為無窮小量，即得到無窮小元素：

（這是根據矩陣乘法和第j個分量的定義）
（11）

證明：

將（11）和（這個是根據T矩陣的表達式可以證明）代入微量微分算符的定義，得到：

注意最后的結果恰好等於量子力學中軌道角動量算符的定義（但相差一個 $ℏ$ ）
可以驗證（量子力學中證明過）：
以上表明：SO（3）群的微量微分算符正是量子力學中的軌道角動量算符（但相差一個 $ℏ$ ）

例題2：SU（2）群的微量微分算符

（注意因為泡利矩陣是二維的，故無窮小元素也是二維的，故其作用的x也是二維的旋量）
這里是將定義為 $S_{i}$ ，將其展開：

根據以上可以驗證：
通常將 SU(2) 群的元素看成二維內部空間（旋量）的轉動，對應的微量微分算符正是量子力學中的自旋角動量算符。

2）生成元

設 $m$ 個函數基 $ψ_{μ} (x)$ 架設對 $P_{G}$ 不變的函數空間，荷載群 $G$ 的表示 $D (G)$ :
把無窮小元素的表示矩陣 $D (A)$ 按無窮小參數展開，根據多元函數泰勒展開公式，保留至一階無窮小量:

（背）
（背）
$g$ 個矩陣 $I_{j}$ 稱為李群表示 $D (G)$ 的生成元，它是微量微分算符在表示空間的矩陣形式。

原因：D(A)是 $P_{A}$ 在表示空間中的矩陣形式，

以上兩個公式對比知道生成元 $I_{j}$ 就是微量微分算符 $I_{j}^{(0)}$ 在表示空間中的矩陣形式。
通常微量微分算符也稱為生為元, 生成元也成為微量微分算符，因為一個是在 $P_{G}$ 中的性質，一個是在 $D_{G}$ 中的性質，故不嚴格區分。
SO(3) 群的自身表示的生成元： $T_{1}, T_{2}, T_{3}$
注意應說出是什么表示才能說生成元。
自身表示：矩陣群，自己是自己的表示就是自身表示。
根據自身表示和前面的例題中
（這其實就是SO（3）群的自身表示）
及知道，SO(3) 群的自身表示的生成元： $T_{1}, T_{2}, T_{3}$
而因為SO(3) 群的微量微分算符是軌道角動量算符，故軌道角動量算符（對應的）在三維空間中的矩陣形式就是 $T_{1}, T_{2}, T_{3}$

根據自身表示知道，其表示空間就是三維空間。

SU（2）群同理，SU（2）群自身表示的生成元是 $\frac{σ_{1}}{2}, \frac{σ_{2}}{2}, \frac{σ_{3}}{2}$ 。故自旋角動量算符（對應的）在二維空間的矩陣形式是 $\frac{σ_{1}}{2}, \frac{σ_{2}}{2}, \frac{σ_{3}}{2}$

量子力學中自旋角動量 $\vec{S} = \frac{ℏ \vec{σ}}{2}$

SU（2）的自身表示：

若 $P_{G}$ 是李群 G 的真實表示, 則 g 個生成元線性無關

原因和前面解釋“只要參數是獨立的 $, I_{j}^{(0)}$ 就是線性無關的。”一樣，沒時間。

幺正表示的生成元是厄米矩陣

證明：和前面證明“若 $P_{R}$ 是幺正算符，則微量微分算符 $I_{j}^{(0)}$ 是厄米算符”的過程一樣。

SO（3）群、SU（2）群可以知道是幺正的，故其自身表示是幺正表示，故其生成元是厄米矩陣。

3.李群的伴隨表示

設 $R S R^{- 1} = T$ , 可以知道，T的參數應該由R和S的參數來決定，即是R、S的參數的函數，故參數之間的關系為 $t_{j} = ψ_{j} (r_{1}, \dots, r_{g}; s_{1}, \dots, s_{g}) = ψ_{j} (r; s)$

但注意這個不是組合函數，因為組合函數是兩個相乘，而 $R S R^{- 1} = T$ 是三個相乘。
表示矩陣滿足 $D (R) D (S) D (R)^{- 1} = D (T)$ （這是表示的性質）, 對真實表示，兩邊對s求偏導數，並最后令s=0，注意右邊對s求偏導數需要先對t求，再對s求，有：

右邊中的t=0是因為最后令s=0時，根據 $R S R^{- 1} = T$ 知道，因為s=0對於的是恆元，故此時T也是恆元，其對應的參數是t=0，故也應將t=0代入。

故在上面公式中兩邊乘以i，並根據生成元的定義知道，
（16）
其中定義
（17）

$R$ 和 $D^{a d} (R)$ 通過上式一一或多一對應，該對應關系對群元素乘積保持不變, 故 $D^{a d} (R)$ 的集合構成李群的一個表示，稱為伴隨表示
根據（16）知，伴隨表示刻畫的是生成元在共軛變換下的變換性質，即一個生成元進行共軛變換，等於這些生成元的組合，組合系數排列成矩陣，構成的表示就稱為伴隨表示。
SU(2)群的伴隨表示：若D（R）取為SU（2）群的自身表示u(n,w)，其生成元是 $\frac{σ_{1}}{2}, \frac{σ_{2}}{2}, \frac{σ_{3}}{2}$ ，根據前面SO（3）與SU(2)同態一節中證明過的公式：
知道，SU(2)群的伴隨表示就是SO(3)群的自身表示。
根據（17）知道，伴隨表示的維數等於生成元的個數，即伴隨表示的維數等於李群的階數，它是所有李群都有的重要表示

參數的變化區域稱為群空間，獨立實參數的數目即群空間的維數稱為連續群的階。生成元的個數是g，參數的個數也是g。
將（16）寫成算符的形式，則矩陣 $D^{a d} (R)$ 對應的就是算符 $P_{R}$ ，生成元 $I_{j}$ 對應的是微量微分算符 $I_{j}^{0}$ ，有：
（18）
類比群元素的共軛變換 $R S R^{- 1} = T$ , 上式稱為微量微分算符的共軛變換
伴隨表示描寫了微量微分算符（或生成元）在共軛變換中的變換性質

（18）的嚴格證明沒有老師說，沒時間。

4.李群的整體性質群論25節，53分鍾沒時間，可能沒用

7.緊致李群的線性表示理論

線性表示等價於幺正表示，兩等價的幺正表示可通過幺正的相似變換相聯系
實表示等價於實正交表示，兩等價的實正交表示可通過實正交的相似變換相聯系
可約表示是完全可約的；表示是不可約表示的充要條件是找不到非常數矩陣與所有表示矩陣都對易
不等價不可約幺正表示的矩陣元和特征標滿足正交關系：

任何表示都可按不可約表示約化：

兩表示等價的充要條件是每個元素在兩表示中的特征標對應相等
表示是不可約表示的充要條件是特征標滿足：

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