這個筆記的思路有點亂糟糟，但是記錄了我以前的一些計算。以后估計還會有用，所以先貼在這里。
1 U(2)群二維復矢量空間中的線性變換為
如果保證變換前后矢量的模方不變，即
即
對任意\(u,v\)都成立.
可以證明，“保證變換前后矢量模方不變”\(\Leftrightarrow\)“變換矩陣\(S\)是幺正的，即\(SS^\dagger=1\)”。記
然后取如下情況，
1)取 \([u,v] = [1,0] \Rightarrow A=1\);
2)取 \([u,v] = [0,1] \Rightarrow D=1\);
3)取 \([u,v] = [2^{-1/2},2^{-1/2}] \Rightarrow B+C=0\);
4)取 \([u,v] = [2^{-1/2},i2^{-1/2}] \Rightarrow B-C=0\);
所以必有\(SS^\dagger = 1\)。而\(SS^\dagger=1\)也是充分的，足以保證\(|u|^2 + |v|^2=1\)在變換前后不變。
這樣的\(S\)構成\(U(2)\)群，因為單位元、封閉性、結合律、逆元都滿足。以\(U\)來標記，大概是unitary，即幺正性。
很顯然，如果勒令\(S\)的元素都是實數，則構成子群\(O(2)\)，\(O\)大概是orthogonal的縮寫，即正交性。
要使得\(SS^\dagger=1\)，即
即等價於：(a,c)幺模，(b,d)幺模，(a,c)與(b,d)內積為0，即正交，這里內積定義為
\begin{equation}
(a,c) \cdot (b,d) = ab^* + cd^*.
\end{equation}
所以可以定義\(a = \cos \theta e^{i\alpha}, c = \sin\theta e^{i\gamma}, b = \sin \phi e^{i\delta}, d = \cos \phi e^{i (\beta - \alpha)}\)，其中\(\theta,\phi\)都在\([0,\pi/2]\)中取值，輻角這么安排只是為了和Joshi的書保持一致，方便后面的筆記敘述。畢竟只要\(\alpha, \beta, \gamma, \delta\)取值范圍是\(2\pi\)長的區間，\(a,b,c,d\)的相位就具有一般性。
\(\theta\)和\(\phi\)的設置滿足了兩個幺模性，而(a,c)與(b,d)正交，則是
把左邊第二項移到右邊，然后兩邊取模，得到\(\cos\theta \sin\phi = \sin\theta\cos\phi\)，考慮到它們的取值范圍，則有\(\phi = \theta\)，所以上式即
即
所以最終
顯然有\(|S| = e^{i\beta}\)。
\(a,b\)受\(|a|^2 + |b|^2 = 1\)的約束，所以共有三個自由度。
如果\(\beta = 0\)，即\(|S| = 1\)，則\(S\)構成SU(2)群。S大概是special，即特殊的幺正群，
考慮二維復矢量\([u,v]\)的函數
\begin{equation}
f^m_j = \frac{ u^{j+m} v^{j-m} }{ [(j+m)!(j-m)!]^{1/2} }, ~~~ 2j = 0,1,2,\cdots, ~~~ m = -j, -j+1, \cdots, j,
\end{equation}
因為\(u^{j+m}v^{j-m}\)整體的冪次是\(2j\)，對\([u,v]\)做了線性變換以后，\(u',v'\)是\(u,v\)的線性疊加，那么\(u'^{j+m} v'^{j-m}\)仍然是\(u,v\)的\(2j\)齊次型，所以\(f^m_j\)在變換之后，是\(f^{m'}_j\)的線性疊加。
也就是說，在\(u,v\)進行線性變換時，\(f^m_j\)構成一個\(2j+1\)階的封閉空間。
那么，以\(f^m_j\)為基矢，就可以構造線性變換矩陣，與\(u,v\)的線性變換相對應。
這樣的矩陣，就是\(U(2)\)群元的表示，如果是\(SU(2)\)群元，就是\(SU(2)\)的表示。
用\(R(a,b)\)標記這個線性變換，對應\(S=[\begin{smallmatrix} a & -b^*\\ b & a^* \end{smallmatrix}]\)，則有
\begin{equation}
R(a,b) f^m_j = \frac{ 1 }{ [(j+m)!(j-m)!]^{1/2} } (au + bv)^{j+m} (-b^* u + a^* v)^{j-m},
\end{equation}
將上式展開，經過計算整理，得到
其中
\(k\)使得所有階乘的宗量不小於0，這樣來確定它的求和范圍。
注意到，如果\((u,v)\)的模方不變，\(f^m_j\)作為一個\(2j+1\)維矢量，它的模方是不變的
所以\(D^j_{m' m}(a,b)\)是一個幺正矩陣表示。
另外（unchecked），用舒爾引理的逆命題可以證明，\(D^j_{m'm}(a,b)\)是一個不可約表示。Joshi還聲稱它是SU(2)唯一的2j+1維不可約表示，這一點我沒有理解。
因為線性變換的“乘法”對應着上文中矩陣\(S\)的乘法，所以SU(2)群中的共軛群元一定有相同的特征值。
有完全相同特征值的\(S\)矩陣也一定是相似的，對應共軛群元。
所以，考慮SU(2)群的類，只需按特征值划分。
而矩陣\(S\)的特征方程為
\begin{equation}
\lambda^2 - (a + a^*) \lambda + 1 =0,
\end{equation}
只與\(a\)的實部有關。
所以，所有\(a\)的實部相同的SU(2)元素構成一類。
因為\(D^j_{m'm}(a,b)\)是同構的幺正不可約矩陣群，所以類結構也會映射過來，即所有\(a\)的實部相同的\(D^j_{m'm}(a,b)\)構成一類，相應的特征標為
既然SU(2)線性變換矩陣\(S \equiv \begin{bmatrix} a & -b^* \\ b & a^* \end{bmatrix}\)與上面定義的\(D\)矩陣同構，研究某一個\(D\)矩陣表示，即可等價地研究SU(2)群。
那么不妨看\(D^1\)矩陣，即\(j=1,m=-1,0,1\)三維矩陣，函數基矢\(f^m_j\)是
相應的\(D\)矩陣很容易得到
即
\(D^1\)是一個復數矩陣，但是可以通過幺正變換，變成實數矩陣。定義
則有
這是一個實數矩陣，而且行列式為1，所以實際上是\(SO(3)\)群的一個群元。
這意味着，每一個SU(2)的群元都對應着唯一的一個SO(3)的群元。
不改變3維矢量長度的線性變換構成O(3)群，線性變換矩陣的行列式為 1 而不是 -1 的，則構成SO(3)群。
為何 SO(3) 群就是轉動群？
首先，每一個轉動變換矩陣一定是SO(3)的群元。
齊次，SO(3)的矩陣都對應着轉動變換。
對任意SO(3)中的群元\(R\)，坐標系按\(R\)轉動時，一個矢量\(\vec{r} = x \vec{e}_x + y \vec{e}_y + z \vec{e}_z\)的坐標變化為
\begin{equation}
(x',y',z') = (x,y,z)R,
\end{equation}
因為\(R R^\top = 1\)，所以變換前后矢量長度不變。
任意兩個矢量的內積為
\begin{equation}
\vec{\alpha'}^\top \vec{\beta'} = \vec{\alpha}^\top R R^\top \vec{\beta} = \vec{\alpha}^\top \vec{\beta}
\end{equation}
兩個矢量的外積與第三個矢量的點乘，反映了它們之間的手征關系，
\begin{equation}
(\vec{\alpha'} \times \vec{\beta'}) \cdot \vec{\gamma'}
= \alpha_l R_{li} \beta_m R_{mj} \gamma_n R_{nk} \epsilon_{ijk}
= \alpha_l \beta_m \gamma_n \epsilon_{lmn} = (\vec{\alpha} \times \vec{\beta}) \cdot \vec{\gamma},
\end{equation}
上式第二個等號使用了\(R\)的行列式為1。
有長度、內積、外積不變，即可說明SO(3)的任何一個元素都對應着轉動。
因為長度、內積、外積不變，說明剛體上每一個點之間的相對位置都沒有變。
以前我用幾何的方法證明過，共原點的任意兩個右手系，都可以通過唯一一次定軸轉動相聯系。
用三個歐拉角所標定的三次轉動，也可以連接共原點的任意兩個右手系。
所以，任意轉動變換有兩種表述，一個是定軸轉動，一個是歐拉角的三次定軸轉動。
任意的定軸轉動，不妨設轉軸為\(\vec{u}\)，繞\(\vec{u}\)轉角\(d\phi\)以后，任意一點\(\vec{r}\)的變化量為
注意，這里我使用了“坐標軸轉動”的約定，與Joshi一致。
所以，生成元\(I\)作用在三維空間的任意標量函數\(f(\vec{r})\)上，有
\begin{equation}
I f(\vec{r}) = \lim\limits_{d\phi \rightarrow 0} \frac{1}{i d\phi} [ f(\vec{r} - d\phi \vec{u} \times \vec{r} ) - f(\vec{r}) ]
= i (\vec{u} \times \vec{r}) \cdot \vec{\nabla} f
= \vec{u} \cdot (\vec{r} \times i \vec{\nabla} ) f
= -\vec{u} \cdot \vec{L} / \hbar f
\end{equation}
所以一般地，轉動變換可以表示為
\begin{equation}
R_{\vec{u}}(\phi) = e^{i\phi I} = e^{-i \phi \vec{u} \cdot \vec{L}/\hbar}.
\end{equation}
從這個角度，也可以理解，在轉動變換下，球諧函數\(Y_{lm}(\theta, \phi), m=-l, \cdots,l\)構成不變子空間，因為\(R_{\vec{u}}(\phi)\)與\(L^2\)是對易的。
用歐拉角的表示方法，則是
\begin{equation}
R(\alpha, \beta, \gamma) = R_z(\gamma) R_y(\beta) R_z(\alpha)
\end{equation}
其中
\(R_{\vec{u}}(\phi)\)與\(R_{\vec{e}_z}(\phi)\)是相似的。可以取\(\vec{u} \times \vec{e}_z\)，繞它轉動使\(\vec{e}_z\)與\(\vec{u}\)重合，然后轉過\(\phi\)角，再繞\(\vec{u} \times \vec{e}_z\)，將\(\vec{u}\)轉回\(\vec{e}_z\)角，會發現整套操作與\(R_{\vec{e}_z}(\phi)\)相同。
所以，所有轉角相同的定軸轉動屬於同一個類。
7 SO(3)群的表示用歐拉角標記，
這樣構成一個\(2l+1\)維的不可約表示\(D^l_{m',m}\)。
球諧函數的定義為(參考Arfken&Weber書的約定)
\begin{equation}
Y^m_n(\theta, \phi) = (-1)^m \sqrt{ \frac{ (2n+1)(n-m)! }{ 4\pi (n+m)! } } P^m_n(\cos \theta) e^{im \phi},
\end{equation}
所以有
\begin{equation}
R_z(\alpha) Y^m_l(\theta, \phi) = e^{-im\alpha} Y^m_l(\theta, \phi),
\end{equation}
所以\(D^l(R_z(\alpha))\)的特征標為
\begin{equation}
\chi^l(\alpha) = \frac{ \sin(l+1/2)\alpha }{ \sin \alpha/2 }.
\end{equation}
我們回到第4節構造的SU(2)與SO(3)的聯系，如果令\(U^\dagger D^1 U=R_z(\alpha)\)，經過計算，會發現，這等價於要求\(a=\pm e^{i\alpha/2}, b = 0\)；
如果令\(U^\dagger D^1 U=R_y(\beta)\)，則會發現，這等價於要求\(a=\pm \cos \beta/2, b= \pm \sin \beta/2\)。
所以，應用於歐拉角標記下的\(R(\alpha,\beta,\gamma) = R_z(\gamma) R_y(\beta) R_z(\alpha)\)，則會得到
所以每個SO(3)的元素對應兩個SU(2)的元素（相差一個負號）。
9 SO(3)群的矩陣表示把\(a = \pm \cos \beta/2 e^{i(\alpha+\gamma)/2}, b=\pm \sin \beta/2 e^{i(\alpha-\gamma)/2}\)帶入第三節\(D^j_{m'm}\)的表達式，可以得到
\begin{equation}
D^j_{m' m}(\pm \cos \beta/2 e^{i(\alpha+\gamma)/2},\pm \sin \beta/2 e^{i(\alpha-\gamma)/2})
= \sum_k (-1)^{m'-m+k} \frac{ [(j+m)!(j-m)!(j+m')!(j-m')!]^{1/2} }{ (j+m-k)!k!(j-m'-k)!(m'-m+k)! }
e^{im\alpha} e^{im'\gamma}
(\pm \cos \frac{\beta}{2})^{2j+m-m'-2k} (\pm \sin \frac{\beta}{2})^{m'-m+2k}.
\end{equation}
可以看出來，\(j\)是整數時，\(\pm\)符號對最終結果沒有影響，是一個單值表示，而\(j\)是半整數時，\(D^j_{m'm}\)也有\(\pm\)符號，是所謂雙值表示。