第五章-多元函數

1,圓柱體的體積

• V = πr²h, {(r,h) | r>0, h>0}
• 三角形面積的海倫公式(p = (a+b+c)/2)    ===> s = [p(p-a)(p-b)(p-c)]^1/2

定義1: 設非空點集 D€Rn, 映射f:D→R稱為定義在D上的n元函數, 記作

• u= f(x₁+ x₂+ ,...,+x_n) 或f(P), P € D, 點集D稱為函數的定義域

二元函數的連續性

• 定義3: 設二元函數f(x,y)在點P0(x0, y0)的某鄰域內有定義, 如果lim_x->x0y->y0f(x,y) = f(x₀, y₀), 則稱二元函數z = f(x,y)在點P₀連續, 如果函數在D上各點處都連續, 則稱此函數在D上連續
• 閉域上二元連續函數有與一元函數類似的如下性質:
  • 定理: 若f(P)在有界閉域D上連續, 則:
    • EK > 0,使|f(p)| ≤ K, P€D    (有界性定理)
    • f(P)在D上可取得最大值M以及最小值m;    (最值定理)

一,偏導數定義及其計算法

• 定義1: 設函數z = f(x,y)在點(x0,y0)的某鄰域內極限lim_Δx→0 f(x₀+Δx, y₀) - f(x₀, y₀)/Δx存在, 則稱此極限圍函數z = f(x,y)在點(x0, y0)對x的偏導數, 記作 ∂z/∂x| (x₀, y₀), ∂f/∂x| (x₀, y₀) , zx| (x₀, y₀), fx(x₀,y₀)
• 偏導數的概念可以推廣到二元以上的函數, 例如: 三元函數 u= f(x, y, z)在點(x,y,z)處對於x的偏導數定義為:
  • fx(x,y,z) = lim_Δx→0 f(x+Δx, y,z) - f(x,y,z)/Δx

二, 高階偏導數

• 設 z = f(x,y)在域D內存在連續的偏導數, ∂z/∂x = f_x(x,y), ∂z/∂y = f_y(x,y)
• 若這兩個偏導數仍存在偏導數, 則稱它們是z = f(x,y)的二階偏導數, 按求導順序不同, 有下列四個二階偏導數:
  • ∂/∂x(∂z/∂x) = ∂²z/∂x² = f_xx(x,y)
  • ∂/∂y(∂z/∂x) = ∂²z/∂x∂y = f_xy(x,y)
  • ∂/∂x(∂z/∂y) = ∂²z/∂y∂x = f_yx(x,y)
  • ∂/∂y(∂z/∂y) = ∂²z / ∂y² = fy_y(x,y)
• 定理: 若f_xy(xy)和f_yx(x,y)都在點(x₀, y₀)連續, 
  • f_xy(x₀,y₀) = f_yx(x₀,y₀)
• 本定理對n元函數的高階混合導數也成立, 例如, 對三元函數u = f(x,y,z),當三階混合偏導數在點(x,y,z)連續時, 有
  • f_xyz(x,y,z) = f_yzx(x,y,z) = f_zxy(x,y,z) = f_xzy(x,y,z) = f_yxz(x,y,z) = f_zyx(x,y,z)

三, 全微分的定義

•  定義: 如果函數z = f(x,y)在定義域D的內點(x,y)處全增量, Δz = f(x+Δx, y+Δy) - f(x,y)可表示成
  • Δz = AΔx + BΔy + ο(ρ)
• 由微分定義:
  • limΔ_{x→0 Δy→0}Δz = limρ→0[(AΔx+BΔy) + ο(ρ)] = 0, 得:
  • lim_{Δx→0 Δy→0}f(x+Δx, y+Δy) = f(x,y) 即:
  • 函數z = f(x,y)在點(x,y)可微==>函數在該點連續
  • 函數可微==>偏導數存在(偏導數不一定連續)
  • 定義1: (必要條件)若函數z = f(x,y)在點(x,y)可微, 則該函數在該點偏導數∂z/∂x, ∂z/∂y必存在, 且有
    
    • dz = ∂z/∂xΔx + ∂z/∂yΔy
  • 定理2(充分條件):若函數z = f(x,y)的偏導數∂z/∂x , ∂z/∂y在點(x,y)連續, 則函數在該點可微分

四,隱函數的求導

• 定理1: 設函數F(x,y)在點P(x₀,y₀)的某一領域內滿足
  • 具有連續的偏導數
  • F(x₀, y₀)=0
  • Fy(x₀, y₀)≠0
  • 則方程F(x,y)=0在點x0的某鄰域內可唯一確定一個單值連續函數y=f(x), 滿足條件y₀ = f(x₀),並有連續導數: dy/dx = -(F_x/F_y)
• 定理2: 若函數F(x,y,z)滿足:
  • 在點P(x₀,y₀,z₀)的某鄰域內具有連續偏導數
  • F(x₀,y₀,z₀) = 0
  • Fz(x₀,y₀,z₀)≠0
  • 則方程F(x,y,z)=0在點(x₀,y₀)某一鄰域內可唯一確定一個單值連續函數z = f(x,y), 滿足z₀ = f(x₀,y₀),並有連續偏導數:   ∂z/∂X = -(F_x/F_z),   ∂_z/∂_y=-(F_y/F_z)

五,多元函數的微積分

• 定義: 若函數z = f(x,y)在點(x0,y0)的某鄰域內有f(x,y)≤f(x0,y0) (f(x,y)≥f(x0,y0)), 則稱函數在該點取得極大值(極小值), 極大值和極小值統稱為極值, 使函數取得極值的點稱為極值點
• 定理1(必要條件):函數z = f(x,y)在點(x0,y0)存在偏導數, 且在該點取得極值, 則有: f'_x(x₀,y₀) = 0, f'_y(x₀,y₀)=0
• 定理2(充分條件):若函數z = f(x,y)在點(x0,y0)的某鄰域內具有一階和二階連續偏導數,且fx(x0,y0)=0, fy(x0,y0)=0,
  • 令 A = f_xx(x₀,y₀), B = f_xy(x₀,y₀), c = f_yy(x₀,y₀),則:
    • 當AC - B² > 0時, 具有極值
      • A<0時取極大值
      • A>0時取極小值
    • 當AC-B² < 0時, 沒有極值
    • 當AC-B² = 0時, 不能確定, 需另行討論

六,利用直角坐標計算二重積分

• 若積分區域為(X-型)
  • D = {(x,y)|a≤x≤b, y₁(x)≤y≤y₂(x)}
  • 則∫∫_Df(x,y)dσ=∫_a^bdx∫_y1(x)^y₂(x)f(x,y)dy
  • 先積x, 后積y
  • 總結: 沿着Y軸的正向穿透, 先交為下限, 后交為上限
• 若積分區域為(Y-型)
  • D = {(x,y) | c≤y≤f, x1(y)≤x2(y)}
  • 則∫∫_Df(x,y)dσ = ∫_c^ddy∫_x1(y)^x₂(y)f(x,y)dx
  • 先積y, 后積x
  • 總結: 沿着X軸正向穿透, 先交為下限, 后交為上限
• 計算二重積分的口訣:
  • 先畫積分域, 域內畫條線, 先交為下限, 后交為上限, 若是不易積, 換序是關鍵, 兩方同出現, 極坐標簡便

七.利用極坐標計算二重積分

• 在極坐標系下, 用同心圓r=常數及射線θ=常數, 分划區域微D, Δσ_k (k=1,2,...n)
• 若積分區域為
  • D = {(r,θ) | α≤θ≤β, φ₁(θ)≤r≤φ₂(θ)}
  • 則∫∫f(x,y)dσ = ∫∫_Df(rcosθ, rsinθ)rdrdθ = ∫_α^βdθ∫_φ1(θ)^φ₂(θ)f(rcosθ, rsinθ)rdr
• 從極點出發, 以射線穿透這個區域
• 一般換元公式
  • 在變換
    • x = x(u,v)
    • y = y(u,v)下
    • (x,y)€D↔(u,v)€D', 且J = ∂(x,y)/∂(u,v)≠0
  • 則∫∫_Df(x,y)dσ = ∫∫_Df[x(u,v),y(u,v)]|J|dudv

公式

• 對於矩形區域來說
  • ∫∫_Df(x)g(y)dσ = ∫_a^bdx∫_c^dg(y)dy = ∫_a^bf(x)dx∫_c^dg(y)dy = k∫_a^bf(x)dx= ∫_a^bf(x)dx∫_c^dg(y)dy
• 當被積函數為1的時候, 函數的二重積分=積分區域的面積