第1節：零向量
1.零向量的概念
對於任意向量x，都有x+y=x，則x被稱為零向量。例如，3D零向量為[0 0 0]。零向量非常特殊，因為它是唯一大小為零的向量，並且唯一一個沒有方向的向量。
第2節：負向量
1.負向量的概念
對於向量x，如果x+(-x)=0，則-x就是負向量。
2.負向量的運算法則
將此法則應用到2D，3D，4D中，則
-[x y] = [-x -y]
-[x y z] = [-x -y -z]
-[w x y z] = [-w -x -y -z]
3.負向量的幾何解釋
向量為負表示將得到一個和原向量大小相等，方向相反的向量。
第3節：向量的模
1.向量的模的概念
所謂的向量的模就是指向量的大小或者說長度。
2.向量的模的運算法則
在線性代數中，向量的模通常用在向量兩邊各加兩條豎線的方式表示，如||v||，表示向量v的模。向量的模的計算公式如下：
對於2D，3D向量的如下
第4節：標量與向量的運算
1.運算法則
雖然標量與向量不能相加減，但是可以相乘，至於標量與向量的除法可以看做乘以倒數。
對於2D，3D向量的如下
2.幾何解釋
向量乘以標量或者除以標量，相當於以因子k來縮放向量的長度。
第5節：標准化向量
1.標准化向量的概念
所謂的標准化向量就是單位向量，就是向量的長度為1的向量。有時候也稱作為法線。
2.運算法則
對於任意非零向量v，都能計算出一個和v方向相同的單位向量n，這個過程被稱作為向量的“標准化”，要標准化向量，將向量除以它的大小（模）即可。
第6節：向量的加法和減法
1.向量的加法和減法的前提
如果兩個向量的維數相同，那么他們能夠相加減，運算結果的向量的維數和原向量相同。
2.運算法則
向量的加法等於兩個向量的分量相加，向量的減法相當於加上一個負向量。
3.幾何解釋
向量的加法和減法引導出了三角形法則，即將向量的首尾相連就會得到加法的結果，如下
第7節：距離公式
1.距離公式的推導
通過上面的三角形原則，我們可以發現，通過兩個向量的加減可以得到第三個向量，我們將這個過程逆置，如果知道了兩點的距離，如何求出其距離，我們可以利用向量的減法實現。
2.運算公式
在3D中，已知兩點a，b，求兩點之間的距離d？我們可以將a，b兩點看做向量，然后b-a就是向量d，然后我們再計算向量d的模就是兩點間的距離
求出向量d后，再求d的模就是兩點的距離
第8節：向量的點乘
1.基本概念
標量可以和向量相乘，向量也可以和向量向量相乘，這就叫點乘，也叫做內積。標量與向量相乘不可以寫點，向量與向量相乘必須要寫點，向量的點乘優先級高於向量的加減法。注意：向量點乘后的結果是標量
2.運算法則
注意：向量點乘后的結果是標量，不再是向量。
應用到2D，3D中為
a·b = axbx + ayby
a·b = axbx + ayby+ azbz
3.幾何解釋
向量的點乘描述的是兩個向量的相似程度，即兩個向量之間的夾角的大小
向量的點乘的集合運算法如下，向量的點乘結果與cos函數有關，當兩個向量垂直時，向量的點乘結果為0
第9節：向量的投影
1.基本概念
給定兩個向量v和n，能將v分解成兩個分量，一個是垂直於向量n，一個平行於向量n，平行於向量n的向量我們稱為在向量n上的投影。
2.投影的求解
因為向量n平行於投影向量，所以可以求出向量n的單位向量再乘以投影的模，就可以得到投影向量，如下
我們接下來求投影的模即可，我們可以根據三角函數的余弦公式來求出投影的模
代入投影的模就可以求出投影向量
3.垂直向量的求解
根據三角形法則，可以輕易求出垂直的向量
第10節：向量的叉乘
1.基本概念
兩個向量的叉乘得到是向量，且這個向量垂直於原來的兩個向量。向量的叉乘只可以運用在3D向量中。
2.數學運算公式
3.幾何運算公式
向量叉乘的結果向量的長度與兩個向量的夾角有關，且成正弦函數關系，如果向量a和b是平行關系，則叉乘的結果為0，因為sin0為0
4.向量叉乘方向的判斷
向量的叉乘是通過右手定則來判斷結果向量的方向的。伸出右手，四指彎曲符合向量叉乘的順序，那么大拇指就是叉乘后結果向量的方向。如下圖axb，右手四指彎曲方向從a到b，大拇指方向向上就是叉乘結果向量的方向。
