第三章 群表示論（考試是ppt原題或稍微改一下的作業題（加號變減號等），必須多自己算幾次，考試才能默寫出來）

第三章 群表示論

第三章 群表示論
1.1節 群的線性表示
1.標量函數變換算符
1）標量函數
2）標量函數變換算符 $P_R$、坐標變換R
3） 對稱變換群：
4）線性算符L(x)在標量函數進行變換時的的變換規律：
2.線性表示在量子理論中的意義
矩陣群D(G)
3.群的線性表示的定義
1）定義： 若行列式不為零 的 m ×m 矩陣集合構成的群D(G) 與已知 群 G 同構或同態 （背）（特別記住同態時一對多，群G中的元素更多）， 則 矩陣群D(G) 稱為 群 G 的一 個 m 維線性表示 ， 簡稱表示。
2）線性表示的物理意義：（老師說，他見到的物理上只有這兩種物理意義）
3）表示矩陣
4）特征標
5）性質
6）例題（背，考試一定會考函數基）
1.2節 等價表示、表示的幺正性和可約表示
1.等價表示
1）表示空間：
2）等價表示
3）等價表示的性質
4）兩表示等價的充要條件：每個元素在兩表示中的特征標對應相等（背）
5）例：D3群的三維表示
2.表示的幺正性
定理的相關結論：
3.可約表示
1）定義：若群G的表示D(G)的每一個表示矩陣D(R)都能通過同一相似變換X化成同一形式的階梯矩陣（左下角為零或右上角為零或左下角右上角都為零）
2）表示可約性的等價定義：表示空間存在非平庸不變子空間的表示稱為可約表示，否則稱為不可約表示
3）完全可約表示
4）定理：有限群的可約表示是完全可約的
5)尋找群的所有表示—>尋找所有不等價表示—>尋找所有不等價不可約表示
6)有限群的表示D(G)或者是不可約的，或者可以約化為一系列不可約表示 $D^{(j)}(G)$的直和：
7)一些公式
1.3節 群代數和有限群的正則表示
1.群函數
2.群空間：群元素為基（自然基），其所有復線性組合構成的線性空間（背）
3.群代數：在群空間中定義矢量乘法，...，這樣的群空間稱為群代數
4.正則表示
1）群 G 的 正則表示
2）正則表示（ 左 正則表示 ）的性質
3）由群的乘法表求正則表示（左正則表示）的方法：
5.內稟群 老師說不重要，了解一下。應該不考。算了。
1.4節 有限群的表示理論
1.舒爾定理:
1）舒爾定理 :
2）舒爾定理的等價描述：
3）舒爾定理推論
2.正交定理
1）群空間兩矢量的點乘或兩群函數的內積定義為
2）一個矢量 $X=\underset{R}{\sum }F(R)R$的坐標可以取為不可約表示 $D^i(G)$ 的表示矩陣的某行某列的矩陣元這個群函數F(G)的g個函數值
3）正交定理（背）：設有限群的兩個不等價不可約幺正表示 $D^i(G)$ 和 $D^j(G)$ ，群空間中以群元素為基的一個矢量 $X=\underset{R}{\sum }F(R)R$的坐標可以取為不可約表示 $D^i(G)$ 的表示矩陣的某行某列的矩陣元這個群函數F(G)的g個函數值，即 $X=\underset{R}{\sum }{D}_{\mu \rho }^i(R)R$；另一個矢量 $Y$的坐標類似地可以取為不可約表示 $D^j(G)$ 的表示矩陣的某行某列的矩陣元這個群函數F‘(G)的g個函數值，即 $Y=\underset{S}{\sum }{D}_{\nu \lambda }^j(S)S$；這兩個矢量滿足正交關系：
4）正交定理的含義：
5）正交定理的推論（所有這些推論都不需要加幺正兩個字。真的只需要背推論二和推論五）
6）將可約表示向不可約表示約化（背，特別是背這3個公式）：
7）找到一個群的所有不等價不可約表示的方法：
例題1：D3群
例題2
例題3
3.完備性定理（完備性定理及其推論3很重要，背：有限群不等價不可約表示維數的平方和等於群的階數；有限群不等價不可約表示的個數等於群的類數）
1）完備性定理：有限群不等價不可約表示維數的平方和等於群的階數： $\underset{j}{\sum }{m}_j^2=g$
2）完備性定理的推論
推論一：有限群不等價不可約幺正表示的矩陣元素 $D_{\mu \nu }^i(G)$ , 作為群空間的矢量（一個 $i\mu \nu$對應一個矢量），構成群空間的正交完備基，任何群函數 $F(G)$ 均可按它們展開（任何群函數 $F(G)$對應的矢量可以由這組正交完備基展開）：
推論二：有限群不等價不可約表示的特征標 ${\chi }^j(G)$ ，作為類空間的矢量（一個j對應一個矢量），構成類空間的正交完備基，任何類函數都可按它們展開（任何類函數 $F(\beta )$對應的矢量可以由這組正交完備基展開）
推論三：有限群不等價不可約表示的個數等於群的類數 $,\underset{j}{\sum }1=g_c$。（背，重要）

TOC

1.1節 群的線性表示

1.標量函數變換算符

1）標量函數

標量、矢量：都是從某種坐標變換下的性質來說的。
一般我們說的標量矢量都是三維空間來說的，這里我們說的矢量、標量都是三維空間的矢量、標量。
標量：只用一個數字描述。
標量場：標量的空間分布，比如溫度場。
標量函數：描述標量場的函數。
變換有兩種觀點：
主動變換（系統變換）：坐標系不變，物理系統在變。
被動變換：坐標系在變，物理系統不變。
比如轉動可以采用物理系統在變，坐標系不變，也可以看成坐標系不變，物理系統在變。
在后面的內容中都采用系統變換的觀點。

2）標量函數變換算符 $P_R$、坐標變換R

（背）

• 

  是線性算符

  證明：由上面公式知，將函數的自變量變成，故
  ，又因為，故，得證。

• 

  在有些情況是一一對應的。（比如平移的情況確實，但普遍情況是否成立我未證，沒時間，算了。）但在后面，我們都考慮一一對應時的情況。

  證：反證法：若多個算符對應一個R，則說明當令，即進行了變換之后，得到的新可能等於也可能等於，這與我們的常識不符，故不可能多對一。
  
  普遍情況比如， $\psi$關於xoy面對稱時，是否成立？沒時間。
  老師也是這么說，比如當 $\psi$是一個常數函數，則，也可以不一一對應，老師也沒說其他情況。

• 

  也按同一規則一一對應

  證明：
  
  （）
  
  故得證。

3） 對稱變換群：

由於元素對應，元素乘積也對應，又由群論第二章1.3節3.集合G‘與群G的同構或同態知，若變 換 R 的集合構成 群 G ， 則 $P_R$的集合一定構成群，且是與 G 同構的 群，稱為群 $P_G$ ；有時 把 群 $P_G$ 稱為 群 G 的線性實現

對稱變換群：一般地，線性算符群 $P_G$ 與群G並不嚴格區分，都稱為對稱變換群。
前面說的標量函數，下面開始說算符：

4）線性算符L(x)在標量函數進行變換時的的變換規律：

得證。

注意 $p_R$也是線性算符，代入上面公式，發現也成立。
ppt中的那些符號是錯誤的，因為

2.線性表示在量子理論中的意義

對稱變換：在與變換R對應的算符 $p_R$的作用下，哈密頓算符不變。設 $p_R$為對稱變換算符

對稱變換是保持物理系統不變的變換，而物理系統是用哈密頓量描述，故哈密頓算符不變。

與華中師范量子力學283頁對稱變換的性質一樣：對稱變換一定滿足對稱變換算符與H對易。

故也是哈密頓算符同一能級的本征函數，由於E有m個線性無關的本征函數，故可以用這個m個線性無關的本征函數展開：

矩陣形式：

注意這個矩陣形式與李新征書34~37頁內容一樣，是基矢量！，注意李書特別這幾頁線代寫得好，必須學，才能懂這個矩陣形式。

答：不一定，因為基矢組不一定是正交歸一的，見第一章線代復習。

• 

  由於，。
  。可以一多對應，但不可以多一對應，因為如果多一對應的話就不知新的函數是什么了（與之前幾點的一個類似證明一樣）
  注意 $P_R$更多。

• 
  證明：
  
  （1）
  由於前面已經證明 了
  ，故：
  （2）
  將（1）與（2）對比，

若算符乘積對應的變換，定義為相繼作兩算符對應的變換；矩陣按矩陣乘積規則相乘。則知，元素是對應的，元素的乘積也是對應的，故：

故若R的集合構成群，則矩 陣 D(R) 的集合一定構成一個群 D(G) ， 它同構或同態 於對稱變換 群 G 和 $P_G$ ：
D(G) ~ $P_G$ ≈ G

矩陣群D(G)

矩陣群D(G)稱為群G的一個m維線性表示，它描寫了哈密頓量本征函數在對稱變換中的變換規律
一般地，系統的對稱變換群G同構於線性對稱變換算符群 $P_G$，而 $P_G$中每個元素作用在不變函數空間的基上，得到群G的線性表示，即矩陣群D(G)
量子理論中，線性表示（即矩陣群D(G)）描寫不變函數空間中函數的變換規律

★請體會下面兩式的區別：

第二個式子因為它表示的意思就是： $P_G$中的任何一個算符作用在任何一個基矢上，得到的是 ${\psi }_{\mu }$架設的函數空間中的一個矢量。
注意第二個式子中是基矢 ${\psi }_{\mu }$。
沒有跑出去就是不變函數空間。

3.群的線性表示的定義

1）定義： 若行列式不為零 的 m ×m 矩陣集合構成的群D(G) 與已知 群 G 同構或同態 （背）（特別記住同態時一對多，群G中的元素更多）， 則 矩陣群D(G) 稱為 群 G 的一 個 m 維線性表示 ， 簡稱表示。

2）線性表示的物理意義：（老師說，他見到的物理上只有這兩種物理意義）

（1）量子理論中，線性表示（即矩陣群D(G)）描寫不變函數空間中函數的變換規律。（背）注意描述函數變化規律時，矩陣是放在后面，因為 ${\psi }_{\mu }$是基矢

（2）二維或三維空間點的坐標變換（或稱線性變換）：線性表示描寫二維或三維空間點的坐標變換規律。（背）
注意描述坐標變換規律時，矩陣放在前面。


要理解這個矩陣為什么代表線性變換的規律必須見“線性代數的本質”，必須學，必須復習！

3）表示矩陣

在 D(G) 中 ， 與 G 中元 素 R 對應的矩 陣 D(R) ， 稱為元 素 R 在表 示 D(G) 中的表示矩陣

4）特征標

表示矩 陣 D(R) 的跡 稱為 元 素 R 在表 示 D(G) 中的特征標； 共軛元素的特征標相同，即同類元素的特征標相同。（背）

證：互相共軛的元素在一個類中，而求跡有輪換不變性，故 $SR{S}^{-1}$和R的特征標相同。

5）性質

• 恆元的表示矩陣為單位矩陣：

  由於同構或同態，故恆元的表示矩陣乘以任意元素的表示矩陣應該等於這個元素的表示矩陣，得證。

• 互逆元素的表示矩陣互為逆矩陣：

  

就因為這個性質，所以其實並不需要在定義中強調行列式不為0，只要一個矩陣群與之前的群G同構或同態，則矩陣的行列式必然不為0，因為矩陣群中包含任意一個矩陣的逆，由於能求逆，則行列式不為0.

• 真實表示 ：D(G) 與 G同構
• 非真實表示：D(G) 與 G同態
  非真實表示描寫了 群 G 關於同態對應核的商群的性質。
• 若G和G'同構，D(G）是G的表示，則D(G）也是G‘的表示。(背）

  若G'同構於G，則D(G）也同構於G‘.(因為元素一一對應，元素乘積也對應），故由表示的定義知，D(G）群也是G'的表示。
  其實這個就是G, $P_G$，D(G）之間的關系。

• 只要知道生成元的表示矩陣就可以求出矩陣群（背）
  由於只要知道生成元，群中的任意元素都可以得到，則求表示矩陣也一樣，只要知道生成元的表示矩陣就可以求出矩陣群，因為其他元素的表示矩陣可以通過D(R)D(S)= D(RS) （元素對應，元素乘積對應）來得到。
• 恆等表示：群G中所有元素都對應單位矩陣，即R對應的 $\mathit{D}(\mathit{R})=\mathit{I}$.
  任何群G都有恆等表示
  比如讓D3群中的所有6個元素對應單位矩陣，元素對應，元素的乘積也對應，單位矩陣群D(G)與群G同態(一對多）。
  

  也稱平庸表示、顯然表示、單位表示

• 自身表示：矩陣群本身是自己的一個表示
• 幺正表示：表示矩陣是幺正矩陣的表示
  幺正：
  故： $D(R{)}^{†}=D(R{)}^{-1}=D\left(R^{-1}\right)$
• 實正交表示：表示矩陣都是實正交矩陣的表示
  
  實正交矩陣：這個正交矩陣中的矩陣元是實數。
  
  若在正交歸一的基中，算符R的共軛算符 $R^{†}$的矩陣形式等於算符R的矩陣形式的共軛。即先轉置再取復共軛（見第一章線性代數復習）。此時實正交矩陣既是正交矩陣又是幺正矩陣。**（因為先轉置再取復共軛）。
• 復共軛表示：將一表示的所有表示矩陣都取其復共軛矩陣，它們的集合構成原群的表示，稱為復共軛表示
  

  證：

• 自共軛表示：特征標都是實數的表示
  

  一般會認為復共軛表示等於原來的表示則是自共軛表示，但不對，要將條件變為：即使復共軛表示不等於原來的表示D(G)，但求了復共軛后，復共軛表示與原來的表示等價，則稱表示D(G)是自共軛表示。

自共軛表示D(G)的另一個定義：一個表示D(G)的表示矩陣都取復共軛后得到的復共軛表示與原來的表示D(G)等價，則稱表示D(G)為自共軛表示。
自共軛表示與其復共軛表示等價。
自共軛表示與復共軛表示等價，則說明這個自共軛表示的特征標是實數。

證明：

故：
自共軛表示：特征標都是實數的表示

• 表示矩陣都是實矩陣的表示稱為實表示。既然等價表示的本質是一樣的，可以把實表示的定義擴充，等價於實表示的表示也稱為實表示。

  故實表示的表示矩陣不一定要求是實矩陣，只要和表示矩陣都是實矩陣的表示等價即可。

由於實表示的特征標是實數 ，故實表示是自共軛表示；但自共軛表示不一定是實表示，因為自共軛表示雖然與其復共軛表示等價，但不一定存在相似變換使所有表示矩陣都變成實矩陣（因為實表示是在等價的意義上定義的），故自共軛表示不一定是實表示。

• 自共軛表示和實表示都是在等價的意義上來說的。

6）例題（背，考試一定會考函數基）

背：判斷是否構成表示就是要判斷是否同構或同態，就是要判斷元素對應，在這種對應規則下，元素乘積也對應，即判斷
=

由線性表示的第二個物理意義，線性表示描寫二維或三維空間中點的變化規律。代入幾個點可以求出矩陣。（背）
這個例子說明：在同構的意義上，二階群只有一個，就是C2群，故
由於“若G和G'同構，D(G）是G的表示，則D(G）也是G‘的表示。(背）”，故同一個群，它的表示矩陣是很多的。

求一維非恆等表示：

四個函數基，求出來的矩陣就是四維的，故是四維表示：

以函數為基，求矩陣群：（背）

5*只要知道生成元的表示矩陣就可以求出矩陣群，故可以得到矩陣群。
特別記住2中應先求R的矩陣表示的逆（考試不要忘）

注釋：
1.在1中，函數基有幾個，就是求R的幾維矩陣表示
2.特別記住2中應先求R的矩陣表示的逆（考試不要忘），考試就考二階三階，求逆矩陣：待定系數法湊，很簡單。
3.這樣求出的矩陣群D(G)是群G（即D3群）的線性表示的原因：

4.D和A是生成元

5.一個群G可以有任何維的表示。同一維的話也可以有很多種表示。

根據以上求出的表示，就可以寫出特征標表：橫為元素的類，縱為表示的分類

第五種和第六種表示的特征標相等。后面會講，如果兩個表示的特征標相等，則它們等價。

1.2節 等價表示、表示的幺正性和可約表示

1.等價表示

1）表示空間：

給定一不變函數空間，線性算符群 $P_G$作用在基 ${\psi }_{\mu }(x)$上，得到一個線性表示，該線性不變函數空間稱為表示空間。（不好理解，不用記）

• 表示空間在量子理論中就是簡並的波函數基矢量 ${\psi }_{\mu }(x)$構成的不變函數空間。在三維空間的坐標變換中，算符就是R，基是 $e_x、e_y、e_z$，則表示空間就是三維空間。（背，重要，從而知道表示空間是什么）
• 表示空間基的選取並不唯一，當重新選取基后，新基取為原來的基的線性組合時， $P_R$的矩陣形式作相似變換，從而得到一個新的表示（背）

  三維空間中並不需要 $e_x、e_y、e_z$作為基矢，可以是其他線性無關的基矢
  函數空間也類似，前面的例題中，第六、七種表示就是取的兩種不同的基矢。
  這里“新基取為原來的基的線性組合”類似為知“線性代數本質”中的線性變換，線性變換中新基也是原來的基的線性組合。故相似變換類似線性代數中的線性變換。

原來的基 ${\psi }_v$，新基 ${\phi }_{\mu }$


新基和舊基的變換關系確定，則相似變換矩陣X也確定。（重要，背）


由表示的含義知，中括號中的就是表示矩陣

新的表示矩陣和原表示矩陣通過相似變換矩陣X聯系起來：

2）等價表示

這兩個表示 $D(G)$和 $\bar{D}(G)$，對應同一個線性變換群 $P_G$，有相同的表示空間；
表示矩陣 $D(R)$和 $\bar{D}(R)$是同一個變換 $P_R$在同一個表示空間中的表示矩陣，只是因為函數基選取的不同而不同，它們通過同一相似變換X聯系起來；這樣的兩個表示本質上是一樣的（因為代表相同的 $P_G$），故這樣兩個表示稱為等價表示。
等價表示：若（群G所有元素R）（在兩個表示 $D(G)$和 $\bar{D}(G)$中的表示矩陣）存在同一相似變換關系（背），這兩個表示稱為等價表示，記為 $D(G)\cong \bar{D}(G)$

前面說了，新基和舊基的變換關系確定，則相似變換矩陣X也確定。故“同一”。

3）等價表示的性質

• 兩等價表示維數相同

  因為維數不同無法相似變換

• 相似變換矩陣是同維非奇異矩陣，與群元素無關

  非奇異是因為非奇異則行列式不為零，則相似變換矩陣X有逆，上面的公式推導過程才成立

• 等價於同一表示的兩表示互相等價
  

  

• 等價表示無實質區別，只是形式不同，故從此，尋找群的所有表示就變成尋找所有不等價表示
  

  因為本質上一樣，因為物理上是對應同一個線性變換群 $P_G$，在同一個表示空間。僅僅是因為表示空間中基的選取不同而不同。

• 自共軛表示、實表示是在等價的意義上定義的

  見前面自共軛表示、實表示

4）兩表示等價的充要條件：每個元素在兩表示中的特征標對應相等（背）

必要性證明：即從兩個表示等價證明特征標對應相等。由於求跡有輪換不變性，故：，得證。
充分性以后再證明

同一類的元素特征標相同，故檢驗兩表示是否等價時，只需在每個類中選一個元素，檢驗它在兩表示中的特征標是否相等（背）

5）例：D3群的三維表示

由兩表示等價的充要條件知，后兩個三維表示等價，它們與第一個三維表示不等價，當然與其它非三維表示也不等價

2.表示的幺正性

定理：有限群的線性表示會等價於幺正表示；兩個等價的幺正表示一定可以通過幺正的相似變換相聯系。

幺正表示：表示矩陣都是幺正矩陣。
證明：
先證第一部分。對給定的表示D(G)，要找出相似變換X使下式成立：

就是要證明 $\bar{D}(R)$是幺正的。
（1）
先定 義 H 矩陣：給一個表示D(G)就可以求出這樣一個矩陣H：

這個矩陣也可以寫成 $\mathit{H}=\underset{SR\in G}{\sum }D(SR{)}^{†}D(SR)=\underset{S\in G}{\sum }D(SR{)}^{†}D(SR)$
后一個等號是因為對S求和與對SR求和是一樣的，因為重排定理GR=G（G是群，R是元素），當R固定，S跑遍G時，SR也就跑遍了G中所有元素，故上面求和號確實成立。
=（2）
（1）與（2）對比知，只要證明存在X使得，即證明了（1）。
下面開始證：

補充：第一章線性代數復習中：



X會滿足本征值方程： $\mathit{R}\mathit{X}=\mathit{X}\mathrm{diag}\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_m\}$。（3）
在正交歸一基的情況下， ${\mathit{X}}^{†}$是先轉置再取復共軛，故由於已經歸一化，所以可以驗證，故X矩陣是幺正的。
由（3）得： $X^{-1}RX=\mathrm{diag}\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_m\}$，其中R是厄米矩陣，X是幺正的，故得證：厄米矩陣一定可以通過幺正的相似變換對角化。
不正交歸一基的情況下是否成立，我不知道。
由此證明過程知道，將厄米矩陣R的m個正交歸一本征列矢量按列排列成一個矩陣，就是幺正的相似變換矩陣X。而相似變換后的矩陣，對角元是本征值。
補充結束。下面接着證：

故H矩陣是正定的厄米矩陣，可通過幺正相似變換U對角化：

數學補充中說了將厄米矩陣R的m個正交歸一本征列矢量按列排列成一個矩陣，就是幺正的相似變換矩陣X。而相似變換后的矩陣是對角矩陣，對角元是本征值。由於這里正定，故對角元大於零。
定義，由於U和都可以求出來，構造，則X也可以求出來，可以驗證：


第一部分得證。
再證第二部分：兩個等價的幺正表示一定可以通過幺正的相似變換相聯系。
由於等價，故已知：
可以通過非幺正相似變換X相聯系：

需要找相似變換Y，使，此時XY就是要找的幺正相似變換矩陣。



下面就是要證明Y滿足上面所說的兩個關系。

Y確實滿足，故得證。
證明結束。

定理的相關結論：

• 對有限群，只需要研究幺正表示和幺正的相似變換
  

  證：由有限群的線性表示會等價於幺正表示，故對有限群，只需要研究幺正表示。
  因為只研究幺正表示，而兩個幺正表示可以通過幺正的相似變換相聯系，雖然已知的是一個非幺正的相似變換X，但可以找到一個Y，使得湊一下，得到幺正的相似變換矩陣XY（這就是上面的證明過程），這樣兩個幺正表示就通過幺正的相似變換聯系了。

• 實際物理問題中，對有限群和大部分無限群，算符 $P_R$是幺正的，則只要在表示空間選取正交歸一的基（總是可以做到），表示（即矩陣群）自然就是幺正表示:
  

  證明：
  由於
  故：
  
  幺正矩陣的定義中有 $D^{\text{diag}}(R)D(R)=I$，故上面的公式說明滿足幺正矩陣的定義，故D(R）是幺正矩陣，故矩陣群D(G）是幺正表示。
  注意是矩陣D(R)的矩陣元。

• 前面定理的推論：
  有限群實表示會等價於實正交表示；兩個等價的實正交表示一定可以通過實正交相似變換相聯系。

  證：由於有限群的表示等價於幺正表示，且實表示：表示矩陣都是實數；故有限群的實表示等價於實的幺正表示，又由於在正交歸一的基的情況下，共軛算符是先轉置再取復共軛，故有限群的實表示等價於實正交表示。
  第二部分的證明省略，和前面證明定理的第二部分類似。

3.可約表示

1）定義：若群G的表示D(G)的每一個表示矩陣D(R)都能通過同一相似變換X化成同一形式的階梯矩陣（左下角為零或右上角為零或左下角右上角都為零）

或 ${\mathit{X}}^{-1}\mathit{D}(\mathit{R})\mathit{X}=\left(\begin{array}{cc}{\mathit{D}}^{(1)}(\mathit{R})& \mathbf{0}\\ \mathit{M}(\mathit{R})& {\mathit{D}}^{(2)}(\mathit{R})\end{array}\right)$
則此表示D(G)稱為可約表示，否則稱為不可約表示。

• 若設 $\bar{D}(R)=X^{-1}D(R)X$，則由前面等價表示的定義知， $\bar{D}(G)$與 $D(G)$是等價表示。
  $\bar{D}(R)$也是一個表示矩陣。
• 當D(G)是可約表示時，兩個子矩陣 $D^{(1)}(R)\text{ 和 }{D}^{(2)}(R)$的集合也分別構成群G的表示：

  證明：由於對任何一個R，故對RS也成立，即有：
  
  又因為D(G)是表示，元素對應，元素的乘積也對應，故D(RS)=D(R)D(S)。
  又因為
  

  $$X^{-1}D(R)D(S)X=X^{-1}D(R)X{X}^{-1}D(S)X=\left(\begin{array}{cc}{D}^{(1)}(R)& M(R)\\ 0& D^{(2)}(R)\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{D}^{(1)}(S)& M(S)\\ 0& D^{(2)}(S)\end{array}\right)$$

  
  由以上兩個矩陣相等知，
  
  元素對應，元素乘積也對應，故得證：兩個子矩陣 $D^{(1)}(R)\text{ 和 }{D}^{(2)}(R)$的集合也分別構成群G的表示。

• 元素在可約表示中的特征標等於在子表示的特征標之和
  
  

  證明：

• 可約表示的表示空間 存 在 着 非平庸的不變子空間， 反之亦 然（背）
  
  這就是可約表示的含義：意味着可約表示的表示空間 存 在 着 更小的不變子空間，注意 $\bar{D}(G)$與 $D(G)$等價，它們的表示空間相同，只是基不同。
  與這個不變子空間相補的子空間不是不變子空間，除非 $\bar{D}(R)$是對角階梯型矩陣。
  

2）表示可約性的等價定義：表示空間存在非平庸不變子空間的表示稱為可約表示，否則稱為不可約表示

對這個定義中“存在”二字的理解：在這個表示空間中，可能對於表示D(G)（即當取基 ${\psi }_{\mu }$時），表示矩陣不是階梯型，則[只由基矢構成的子空間]不是非平庸不變子空間，但這個表示空間還是存在不變子空間，因為可以取向量（注意此時還不是基矢） ${\phi }_1、{\phi }_2、{\phi }_3$構成的一個空間，當算符 $P_R$作用時，仍在這個空間中，所以是不變子空間，只不過不是由基矢 ${\psi }_{\mu }$構成的空間（這里需要仔細思考才能理解）。但是當取原基線性組合得到新基 ${\phi }_{\mu }$時（即對於表示 $\bar{D}(G)$），若是階梯型的表示矩陣，則由基矢 ${\phi }_1、{\phi }_2、{\phi }_3$構成的子空間是非平庸的不變子空間。此時，表示D(G)稱為可約表示。（其實對於 $\bar{D}(G)$，也能稱為可約表示，因為滿足可約表示的定義）。

3）完全可約表示

如果D(G)的表示空間存在兩個互補的不變子空間，可在兩個子空間中分別取一組基（在前面的例子中，一個子空間基是 ${\phi }_1、{\phi }_2、{\phi }_3$，另一個子空間的基是 ${\phi }_4、{\phi }_5、{\phi }_6、{\phi }_7$），構成整個表示空間的一組完備基（ ${\phi }_1、{\phi }_2、{\phi }_3、{\phi }_4、{\phi }_5、{\phi }_6、{\phi }_7$），在這組基下

該表示D(G)稱為完全可約表示，表示的這種形式 $\bar{D}(G)$稱為已約表示。

• 完全可約表示的表示空間可寫為兩個互補的不變子空間的直和
  

  直和是什么，沒時間，以后再說

• 對於不能完全約化的可約表示，其非平庸不變子空間的相補子空間不是不變子空間

  以上內容在1）中都說明了。

4）定理：有限群的可約表示是完全可約的

可約表示說的是“每一個表示矩陣D(R)都能通過同一相似變換X化成同一形式的階梯矩陣（左下角為0或右上角為0等）”.
這個定理的含義：對有限群來說，對於表示D(G），如果它是可約的（即可以通過相似變換矩陣X約化為階梯型，即D(G)是可約表示），則存在相似變換矩陣XY，使得表示D(G)的每一個表示矩陣D(R)都能通過同一相似變換XY化成同一形式的對角階梯矩陣（左下角和右上角都為0）:
。
從表示空間來說，如果這個表示空間中能夠存在非平庸的不變子空間（即可約），則這個表示空間中存在兩個相補的非平庸不變子空間。（也可以存在一個是不變子空間，另一個相補的空間不是不變子空間的情況，這是對應相似變換X的情況）

以上的含義是從下面定理證明中得知的。

定理證明：


這個證明過程具體見老師講課，省略

5)尋找群的所有表示—>尋找所有不等價表示—>尋找所有不等價不可約表示

把若干個不可約表示直和起來，就構成一個已完全約化的可約表示。該可約表示沒有給出任何新的性質：它的表示空間是若干個不可約表示的表示空間的直和，空間中的矢量可唯一地分解為分屬各子空間的矢量之和，分別按各不可約表示變換。
可約表示不會給出任何新的東西。所以我們應該把它的范圍縮小:尋找群的所有表示—>尋找所有不等價表示—>尋找所有不等價不可約表示.
對於有限群來說，只需要研究不等價不可約幺正表示，因為前面有一個定理的相關結論中說了，對有限群，只需研究幺正表示。

6)有限群的表示D(G)或者是不可約的，或者可以約化為一系列不可約表示 $D^{(j)}(G)$的直和：

比如若 $D^{(1)}(G)$和 $D^{(2)}(G)$相同，則a1為2.
$D^{(j)}(G)$：第j個不可約表示。
這等價於，有限群的表示空間 $\mathcal{L}$可以約化為一系列不變子空間 ${\mathcal{L}}^{(j)}$的直和：

7)一些公式

不重要，前面都背了。

1.3節 群代數和有限群的正則表示

1.群函數

• 群函數：以群元素為自變量的函數稱為群函數，常記作F(G)（注意G是群）
  群函數：輸入一個群元素R，輸出一個東西，輸入另一個群元素S，又輸出一個東西。（背）
• 群函數可以是數值函數、矢量函數、矩陣函數等
  表示矩陣其實是一個群函數，是矩陣函數，因為輸入R，輸出矩陣D(R），輸入S，輸出D(S）。
  表示矩陣的某行某列的矩陣元也是一個群函數，是數值函數，比如對D3群的二維表示，輸入R，輸出D(R）的第一行第一列的元素，輸入S，輸出D(S）的第一行第一列的元素。m維表示矩陣給出 $m^2$個這樣的群函數。
  特征標也是群函數，輸入R，輸出D(R）的特征標，雖然同一類元素特征標相等，但可以兩個自變量對於一個因變量。

2.群空間：群元素為基（自然基），其所有復線性組合構成的線性空間（背）

線性空間：矢量空間，定義了加法數乘，和一些性質。
線性代數：在線性空間中定義矢量的乘法，並且對乘法封閉，則就是線性代數。
內積空間：如果在線性空間中引入長度、內積的概念，就是內積空間，比如歐式空間，閔氏空間，希爾伯特空間。

老師說，不用再問這個加法是說什么。這是定義，規定。

• 群空間：群元素為基（自然基），其所有復線性組合構成的線性空間（背）
  
  • 群空間的維數為群的階數。
  • 群元素的任何線性組合都是群空間的一個矢量，如 $X=\underset{R\in G}{\sum }F(R)R$
  • 群空間的矢量滿足線性空間矢量的一般性質。
  • 一個矢量的坐標對應一個群函數F(G）的g個函數值。（背）
    類似線性空間，群空間中的基不一定需要取群元素，如果取群元素為基，則稱為自然基。
    群空間的矢量和群函數一一對應。
    一個矢量的坐標對應一個群函數F(G）的g個函數值。（背）
    
    
  • 群空間只有g個線性無關的矢量，故群空間線性無關的群函數的數目等於群的階數g（背）。
  • 群空間可以選群元素為基，稱為自然基，也可以任選g個線性無關的矢量為基

    “群空間只有g個線性無關的矢量”這是規定吧。

3.群代數：在群空間中定義矢量乘法，...，這樣的群空間稱為群代數

• 線性代數：在線性空間引入矢量乘法，要求線性空間關於乘法封閉，且滿足分配律，這樣的線性空間稱為線性代數或代數
  
• 群代數：
  • 在群空間定義矢量乘法：數與數作普通乘法，群元素與群元素按群的元素乘積規則相乘。
    兩個矢量相乘得到一個新矢量：
    
    設。
    大括號中是一個T的函數，形式類似，故這是一個新的矢量。
    以上定義的乘法滿足分配律，且群空間關於此乘法是封閉的（因為兩個矢量相乘得到一個新矢量），這樣的群空間稱為群代數，用符號 $\mathcal{L}$來標記.

4.正則表示

1）群 G 的 正則表示

• 群代數中，群元素既是矢量（或矢量基），又可看作線性算符（當它左乘到群代數的矢量上，使矢量按一定規則變成群代數中另一個矢量）
• 把作為算符的S左乘到作為矢量基的R上，得到群代數中的一個矢量，將得到的矢量用矢量基展開，展開系數排列成矩陣，構成算符S在矢量基R中的矩陣形式D(S)
  （背）
  
• 矩 陣 D(S) 的集合構成 群 D(G) ， 且是與群 G 同構的群 。（背）
  證明：矩 陣 D(S) 與線性算 符 S 一一對應。
  

  證：

D(T)D(S) 與 TS 按同一規則一一對應

證：即要證

元素對應，元素乘積對應，故由第二章中集合與群同構的定理知，矩 陣 D(S) 的集合構成 群 D(G) ， 且是與群 G 同構的群 。得證。

• 群 G 的 正則表示（ 左 正則表示 ）：矩 陣 D(S) 的集合構成的矩陣群D(G) （背）

2）正則表示（ 左 正則表示 ）的性質

• 正則表示的表示空間是群代數
  

  由表示空間的定義知。

• 正則表示是真實表示
  

  真實表示：同構。正則表示是一一對應的，同構。

• 每個有限群都有正則表示
  

  證：根據正則表示的定義，顯然。

• 正則表示的維數等於有限群的階數
• 當S=E時，元素S在正則表示中的特征標為g；當S $\ne$E時，元素S在正則表示中的特征標都為零
  
  

  證明：
  

• 正則表示是實正交表示
  

  證：正則表示中，表示矩陣中矩陣元是1或0，故是實的；由於表示矩陣中每一行只有一個是1，其他是0，故
  
  知是正交矩陣。得證。

3）由群的乘法表求正則表示（左正則表示）的方法：

求正則表示就是要求出正則表示的表示矩陣中哪些系數為1：
根據乘法表和


就可以求出正則表示的表示矩陣；先求出生成元的表示矩陣，根據矩陣乘法就能求出正則表示的所有表示矩陣。（背，重要，這個“根據”在前面倒數第二個性質中證明了）

5.內稟群 老師說不重要，了解一下。應該不考。算了。

1.4節 有限群的表示理論

1.舒爾定理:

1）舒爾定理 :

設 $D^{(1)}(G)$ 和 $D^{(2)}(G)$ 是群 $G$ 的兩個不等價不可約表示，維數分別為 $m_1$ 和 $m_2,X$ 是一個 $m_1\times m_2$ 矩陣，如果對每一個元素 $R$ 都有 $D^{(1)}(R)X=X{D}^{(2)}(R)$這樣一個關系, 則 $X=0.$

1. $D^{(1)}(G)$ 和 $D^{(2)}(G)$ 是群 $G$ 的兩個不等價不可約表示：比如前面完全可約表示一節中， $X^{-1}D(R)X=\left(\begin{array}{cc}{D}^{(1)}(R)& 0\\ 0& D^{(2)}(R)\end{array}\right)$，其對角線的兩個矩陣分別是G的兩個不等價不可約表示的表示矩陣，此時， $D^{(1)}(G)$表示空間是 ${\phi }_1、{\phi }_2、{\phi }_3$為基矢的空間 ， $D^{(2)}(G)$的表示空間是 ${\phi }_4、{\phi }_5、{\phi }_6、{\phi }_7$為基矢的空間，這兩個表示空間互補。
2.定理證明：
證明：因為不可約表示的表示空間不存在非平庸的不變子空間，故如果找到低於表示維數的不變子空間，它必是零空間。下面對不同情況證明X矩陣的行（列）矩陣構成的空間是零空間。


(2) $m_1=m_2:此時X是方陣，$ 若 $\det X\ne 0,$ 則存在逆矩陣 $X^{-1},X^{-1}{D}^{(1)}(R)X=D^{(2)}(R)$ 表明兩表示等價，與假設矛盾; 若 det $X=0$, 則 $X$ 的列矩陣線性相關，它只能架 起維數低於 $m_1$ 的空間，該空間對 $D^{(1)}(G)$ 保持不變，只能是零空間。
在線性代數中，如果列矩陣線性相關，其秩一定比維數低，它應該有一個維數低於m1的空間。

具體見群論13第20分鍾。沒時間。

2）舒爾定理的等價描述：

設 $D^{(1)}(G)$ 和 $D^{(2)}(G)$ 是群 $G$ 的兩個不可約表示，如 果對每一個元素 $R$ 都有 $D^{(1)}(R)X=X{D}^{(2)}(R)$ 這個關系, 則
(1) 若 $D^{(1)}(G)$ 和 $D^{(2)}(G)$ 不等價, $,$ 則 $X=0$

這就是前面說的舒爾定理的內容。

(2) 若 $X\ne 0,$ 則 $D^{(1)}(G)$ 和 $D^{(2)}(G)$ 必等價

因為在 $X\ne 0,$時，如果不等價的話， $D^{(1)}(R)X=X{D}^{(2)}(R)$ 這個關系是不可能成立的，故 $D^{(1)}(G)$ 和 $D^{(2)}(G)$ 必等價。

3）舒爾定理推論

推論一：與不可約表示 $D(G)$ 的所有表示矩陣 $D(R)$ 都對易的矩陣必為常數 矩陣，即若 $D(R)X=XD(R),$ 則 $X=\lambda I,\lambda$ 為常數

證明: 取 $X$ 的任一本征值 $\lambda ,$ 令 $Y=X-\lambda I$, 由於 $X-\lambda I=0$是本征方程，故 det $Y=0,$ 這說明 $Y$ 的列矩 陣是線性相關的，能架起維數更低的子空間，由於 $D(R)X=XD(R)$ ,故 $D(R)Y=YD(R),$ 故該 子空間對 $D(G)$ 保持不變，由於 $D(G)$是不可約表示，因而此子空間只能是零空間，即 $Y=0,$ 即得 $X=\lambda I.$得證。

推論二：有限群表示不可約的充要條件是不可能找到非常數矩陣與所有表示矩陣對易。
這是判斷有限群表示可約和不可約的一個方法，不過不方便。

證明：對不可約表示，由推論一知，一定找不到非常數矩陣與所有表示矩陣對易。
對可約表示，由於完全可約，可約化為方塊矩陣，由於

故總能找到非常數矩陣與之對易。得證。
方塊矩陣總能找到非常數矩陣與之對易

2.正交定理

在群空間一節說過，群空間中一個矢量的坐標對應一個群函數F(G）的g個函數值。（背）
，其坐標：

1）群空間兩矢量的點乘或兩群函數的內積定義為

• 群空間中取自然基時，自然基的基矢的內積： $⟨\mathit{R}\mid \mathit{S}⟩={\mathit{\delta }}_{RS}$
• 對群空間中的兩個矢量： $\mathit{X}=\underset{R}{\sum }{\mathit{F}}_1(\mathit{R})\mathit{R},\mathit{Y}=\underset{S}{\sum }{\mathit{F}}_2(\mathit{S})\mathit{S}$ ，群空間中兩個矢量的內積：就是矢量的坐標按矩陣乘法相乘：
  
  $$⟨\mathit{X}\mid \mathit{Y}⟩=\underset{R}{\sum }\underset{S}{\sum }{\mathit{F}}_1(\mathit{R}{)}^{\ast }{\mathit{F}}_2(\mathit{S})⟨\mathit{R}\mid \mathit{S}⟩=\underset{R}{\sum }{\mathit{F}}_1(\mathit{R}{)}^{\ast }{\mathit{F}}_2(\mathit{R})$$
• 兩矢量正交：內積為零稱為兩矢量正交。
• 矢量的模方：同一矢量的點乘稱為矢量的模方。

  定義了內積，其實就是進入了”內積空間“

2）一個矢量 $X=\underset{R}{\sum }F(R)R$的坐標可以取為不可約表示 $D^i(G)$ 的表示矩陣的某行某列的矩陣元這個群函數F(G)的g個函數值

群 $G$ 的不可約表示 $D^i(G)$ 的表示矩陣的某行某列的矩陣元 $D_{\mu v}^i(R)$ 是群 $G$ 的一 個群函數。
群空間中以群元素為基的一個矢量 $X=\underset{R}{\sum }F(R)R$的坐標可以取為不可約表示 $D^i(G)$ 的表示矩陣的某行某列的矩陣元這個群函數F(G)的g個函數值，即這個群函數F(G)對應群空間中以群元素為基的一個矢量。
m維表示矩陣給出 $m^2$個這樣的群函數，故對一個不可約表示 $D^i(G)$ ，共有 $m_i^2$個這樣的矢量。對不可約表示 $D^j(G)$ ，共有 $m_j^2$個這樣的矢量。

正交定理討論有限群群空間中這些矢量間的正交關系。

1.表示矩陣的某行某列的矩陣元也是一個群函數，是數值函數，比如對D3群的二維表示，輸入R，輸出D(R）的第一行第一列的元素，輸入S，輸出D(S）的第一行第一列的元素。m維表示矩陣給出 $m^2$個這樣的群函數。
2.特別注意，當群空間中一個矢量 $X=\underset{R}{\sum }F(R)R$的坐標取為表示D(G)的表示矩陣的某行某列的矩陣元這個群函數F(G)的g個函數值時，表示D(G)所在的表示空間與群空間（群元素為基（自然基）構成的線性空間）沒有任何關系。坐標的這種取法只是一種構造矢量的方法。

3）正交定理（背）：設有限群的兩個不等價不可約幺正表示 $D^i(G)$ 和 $D^j(G)$ ，群空間中以群元素為基的一個矢量 $X=\underset{R}{\sum }F(R)R$的坐標可以取為不可約表示 $D^i(G)$ 的表示矩陣的某行某列的矩陣元這個群函數F(G)的g個函數值，即 $X=\underset{R}{\sum }{D}_{\mu \rho }^i(R)R$；另一個矢量 $Y$的坐標類似地可以取為不可約表示 $D^j(G)$ 的表示矩陣的某行某列的矩陣元這個群函數F‘(G)的g個函數值，即 $Y=\underset{S}{\sum }{D}_{\nu \lambda }^j(S)S$；這兩個矢量滿足正交關系：

$$⟨\mathit{X}\mid \mathit{Y}⟩=\underset{\mathit{R}}{\sum }{\mathit{D}}_{\mu \rho }^i(\mathit{R}{)}^{\ast }{\mathit{D}}_{\nu \lambda }^j(\mathit{R})=\frac{g}{m_j}{\delta }_{ij}{\delta }_{\mu v}{\delta }_{\rho \lambda }$$

其中 $g$ 是群 $G$ 的階, $m_j$ 是表示 $D^j$ 的維數, 當 $i=j$ 時, $D^i(R)=D^j(R)$。

證明: 取 $m_i\times m_j$ 矩陣 $Y(\mu v),$ 它只有第 $\mu$ 行第 $v$ 列元素不為零

$$Y(\mu v{)}_{\rho \lambda }={\delta }_{\mu \rho }{\delta }_{v\lambda }$$

定義 $m_i\times m_j$ 矩陣 $X(\mu v)$ ，其矩陣元素即為所求對象：

$$\begin{array}{c}X(\mu v)=\underset{R\in G}{\sum }{D}^i(R{)}^{-1}Y(\mu v)D^j(R)\\ X(\mu v{)}_{\rho \lambda }=\underset{R\in G}{\sum }\underset{\tau \sigma }{\sum }{D}_{\rho \tau }^i(R{)}^{-1}Y(\mu v{)}_{\tau \sigma }{D}_{\sigma \lambda }^j(R)=\underset{R\in G}{\sum }{D}_{\mu \rho }^i(R{)}^{\ast }{D}_{v\lambda }^j(R)=⟨\mathit{X}\mid \mathit{Y}⟩\\ \text{ 則 }:X(\mu v)D^j(S)=\underset{R\in G}{\sum }{D}^i(R{)}^{-1}Y(\mu v)D^j(R)D^j(S)\\ =\underset{R\in G}{\sum }{D}^i(S)D^i(RS{)}^{-1}Y(\mu \nu )D^j(RS)=D^i(S)X(\mu \nu )\end{array}$$

得證。

4）正交定理的含義：

對一個不可約幺正表示 $D^i(G)$ ，共有 $m_i^2$個這樣的矢量。對不可約幺正表示 $D^j(G)$ ，共有 $m_j^2$個這樣的矢量。正交定理說，這 $m_i^2$個矢量和 $m_j^2$個矢量，它們之間是互相正交的，這 $m_i^2$個矢量它們自己和自己也是正交的，只有當這兩個矢量是同一個矢量時，模方（長度）是 $g/m$（群G的階數除以表示矩陣的維數），m是這個矢量所對應的不可約幺正表示的維數.

(1)可以去掉幺正性條件的限制：設有限群 $G$ 兩個不同的不等價不可約表示，其各自某行某列的矩陣元，作為群空間的矢量互相正交。（背，與例題有關）
根據正交定理知，設有限群 $G$ 兩個不同的不等價不可約幺正表示，其各自某行某列的矩陣元，作為群空間的矢量互相正交.
有限群的任一表示總可以由幺正表示通過相似變換得到。

因為有限群的表示等價於幺正表示，任何一個表示的表示矩陣可以通過相似變換化為幺正表示，則幺正表示也可以通過相似變換化為有限群的一個非幺正表示。

相似變換把表示矩陣的元素作線性組合，得到對應同一個群元素的 另一表示矩陣。
既然兩個不同的不等價不可約幺正表示，其各自的某行某列的矩陣元素（即矩陣的矩陣元），作為群空間的矢量都互相 正交，則這些矩陣元素作線性組合后仍然正交。

因此在上面的表述中可以去掉幺正性條件的限制：設有限群 $G$ 兩個不同的不等價不可約表示，其各自某行某列的矩陣元，作為群空間的矢量互相正交。
(2) 有限群 $G$同一不可約幺正表示，其 $m^2$ 個某行某列的矩陣元，作為群空間的矢量也互相正交，且它們的模方都等於群G的階數除以表示矩陣的維數，即 $g/m$，m是這個矢量所對應的不可約幺正表示的維數.（背，與例題有關）
注意這里不能去掉幺正性的限制，因為

• 例：D3群不可約表示矩陣元作為群空間矢量的正交性
  
  這三個表示就是前面講線性表示時的例題。
  由於這三個表示的特征標不相等，故這三個表示不等價。
  由幺正表示的定義可以證明這三個是幺正表示。
  群空間一個矢量的坐標可以取為不可約不等價幺正表示的某行某列的矩陣元這個群函數的g個函數值：
  由正交定理的含義：
  
  (1)可以去掉幺正性條件的限制：設有限群 $G$ 兩個不同的不等價不可約表示，其各自某行某列的矩陣元，作為群空間的矢量互相正交。（背，與例題有關）
  (2) 有限群 $G$同一不可約幺正表示，其 $m^2$ 個某行某列的矩陣元，作為群空間的矢量也互相正交，且它們的模方都等於群G的階數除以表示矩陣的維數，即 $g/m$，m是這個矢量所對應的不可約幺正表示的維數.（背，與例題有關）
  知，這六個矢量都是互相正交的，模長也可以計算出。

5）正交定理的推論（所有這些推論都不需要加幺正兩個字。真的只需要背推論二和推論五）

• 推論一：有限群不等價不可約表示的維數平方和不大於群的階數 ： $\underset{j}{\sum }{m}_j^2\le g$

雖然根據正交定理的含義（2）知，“群 $G$ 每個不可約表示提供 $m_j^2$ 個線性無關的矢量”這句話的前提是同一不可約幺正表示，但是“正交定理含義(2) 有限群 $G$同一不可約幺正表示，其 $m^2$ 個某行某列的矩陣元，作為群空間的矢量也互相正交，且它們的模方都等於群G的階數除以表示矩陣的維數”說的是 $m^2$ 個某行某列的矩陣元，作為群空間的矢量也互相正交。對於不可約表示，當它不是幺正表示時，根據正交定理含義(2) 一節中的解釋可以知道， $m^2$ 個某行某列的矩陣元，作為群空間的矢量確實不正交，但是還是可以證明推論一這個結論成立。PPT中的這個證明少寫了一些內容，其正確證明應該是：

推論一證明：正交的矢量必定線性無關; 群 $G$ 每個不可約幺正表示提供 $m_j^2$ 個線性無關的矢量，對於群G的不可約不幺正表示，可以相似變換，它會等價於一個幺正表示，先證明一個引理：這個幺正表示一定是不可約幺正表示。
引理證明：因為不知道這個幺正表示是否是可約的，故假設它是可約的幺正表示，由之前幾節中


知道，此可約幺正表示還可以通過相似變換化為一系列不可約幺正表示直和。因為等價的傳遞性，故不可約不幺正表示等價於”一系列不可約幺正表示直和“，即此不可約不幺正表示一定可以通過相似變換化為”一系列不可約幺正表示直和“，這就說明這個不可約不幺正表示是”可約的“，這與不可約不幺正表示是不可約的這個前提矛盾。故對於群G的不可約不幺正表示，可以相似變換，它會等價於一個幺正表示，這個幺正表示一定是不可約幺正表示。引理得證。
而不可約幺正表示提供 $m_j^2$ （維數的平方）個線性無關的群空間的矢量，設這些矢量構成某一個”空間“，因為不可約不幺正表示可以相似變換化為這個不可約幺正表示，由正交定理含義(2) 中的解釋

的（1）式知， $m^2$ 個某行某列的矩陣元，作為群空間的矢量確實不正交，但這些矢量是原來不可約幺正表示矩陣元矢量的線性組合，故不可約不幺正表示對應的這些矢量構成的”空間“與原來矢量構成的”空間“相同，維數相同，這個不可約不幺正表示對應的這些矢量構成的”空間“也是有 $m_j^2$ （相似變換聯系起來的兩個矩陣的維數相同，故這是不可約不幺正表示的表示矩陣的維數的平方）個線性無關的矢量，即群 $G$ 每個不可約不幺正表示提供 $m_j^2$ （不可約不幺正表示的表示矩陣的維數的平方）個線性無關的矢量。
綜上，群 $G$ 每個不可約幺正表示提供 $m_j^2$ 個線性無關的矢量，但有限群群空間最多只能有 $g$ 個線性無關的矢量，故推論一得證。

• 推論二：有限群兩個不同的不等價不可約表示的特征標，作為群空間的矢量互相正交，滿足： $⟨\mathit{X}\mid \mathit{Y}⟩=\underset{R\in G}{\sum }{\chi }^i(\mathit{R}{)}^{\ast }{\chi }^j(\mathit{R})=g{\delta }_{ij}$（背）
  有一個注意在后面。

  證明: 將正交關系式兩邊取 $\mu =\rho ,v=\lambda ,$ 並對 $\rho$ 和 $\lambda$ 求和，根據特征標的含義：對角線之和，知
  

  $$\begin{array}{}\text{(1)}& \underset{R\in G}{\sum }\underset{\rho \lambda }{\sum }{D}_{\rho \rho }^i(\mathit{R}{)}^{\ast }{\mathit{D}}_{\lambda \lambda }^j(\mathit{R})=\frac{g}{{\mathit{m}}_j}{\delta }_{ij}\underset{\rho \lambda }{\sum }{\delta }_{\rho \lambda }{\mathit{\delta }}_{\rho \lambda }\iff \underset{R\in G}{\sum }{\chi }^i(\mathit{R}{)}^{\ast }{\chi }^j(\mathit{R})=g{\delta }_{ij}\end{array}$$

  
  對右邊的兩個delta函數一個一個求和可以得證。

特別注意，雖然上面圖中的證明過程是使用了正交定理的公式，正交定理在i=j時成立的前提是幺正表示。但是
特別注意，
是一個關於特征標的公式，只需要是有限群不等價不可約表示即可，它並不需要在i=j時成立的前提是幺正表示這個前提條件，此公式在i $\ne$j時也不需要幺正表示這個前提。

1.先證明公式

在i $\ne$j時，不需要幺正表示的條件：在i $\ne$j時，若沒有幺正表示這個前提，由上面的證明過程再走一遍，知，確實等於0，故此公式在i $\ne$j時不需要幺正表示這個前提。
2.再證明不需要在i=j時成立的前提是幺正表示這個前提條件:
因為根據推論一的證明過程知，群G的不可約不幺正表示，可以相似變換，它會等價於一個同維的不可約幺正表示。（相似變換不改變維數）
因為等價，故此不可約不幺正表示與相似變換后得到的同維的不可約幺正表示的特征標對應相等，故當i=j時，對於不可約不幺正表示，將其相似變換化為同維不可約幺正表示，此幺正表示在會滿足 $\begin{array}{}\text{(2)}& \underset{R\in G}{\sum }{\chi }^i(\mathit{R}{)}^{\ast }{\chi }^i(\mathit{R})=g\end{array}$，因為特征標對應相等，故對不可約不幺正表示，（2）也成立，故得證：

並不需要在i=j時成立的前提是幺正表示這個前提條件。

• 推論三：有限群不等價不可約表示的個數，不能大於群的類數 $：\underset{j}{\sum }1\le g_c$
  證明：特征標是類的函數，設第 $\alpha$ 個類中有 $n(\alpha )$ 個元素，故本來（1）中對所有元素求和，則可以化為對類求和，則
  
  $$\underset{\alpha =1}{\overset{g_c}{\sum }}n(\alpha ){\chi }_{\alpha }^{i\ast }{\chi }_{\alpha }^j=g{\delta }_{ij}$$
  
  類似群空間，建立類空間，類空間就是每一個類作為基，設類的個數為 $g_c$ ，則類空間就是 $g_c$維，類空間中最多有 $g_c$ 個線性無關的矢量。

群 $G$ 每個不等價不可約表示的特征標提供類空 間 1 個線性無關的矢量：類空間正交歸一矢量:
$\begin{array}{}\text{(3)}& \sqrt{n(\alpha )/g}{\chi }_{\alpha }^i\end{array}$，根據線性代數中正交向量組必定是線性無關的，知，這些矢量線性無關，但有限群類空間最多只能有 $g_c$ 個線性無關的矢量。得證。
因為公式(1)不需要幺正表示這個前提，故公式（3）也不需要。

• 例： $D_3$ 群不等價不可約幺正表示的特征標作為群、類空間矢量的正交性
  
• 推論四：有限群兩表示等價的充要條件是每個元素在兩表示中的特征標對應相等
  

  證明: 充分性性證明：有限群 $G$ 的可約表示 $D(G)$ 可約化為若干個不可約表示 $D^j(G)$ 的直和
  

  $$X^{-1}D(R)X=\underset{j}{⨁}{a}_j{D}^j(R),\chi (R)=\underset{j}{\sum }{a}_j{\chi }^j(R)$$

  
  $a_j$ 稱為在表示 $D(G)$ 中不可約表示 $D^{\mathrm{\prime }}(G)$ 的重數
  由推論二 $\underset{R\in G}{\sum }{\chi }^i(\mathit{R}{)}^{\ast }{\chi }^j(\mathit{R})=g{\delta }_{ij}$, 上式兩邊乘 ${\chi }^i(\mathit{R}{)}^{\ast }/\mathit{g}$ 並對 $\mathit{R}$ 求和得 $a_j=\frac{1}{g}\underset{R\in G}{\sum }{\chi }^j(\mathit{R}{)}^{\ast }\chi (\mathit{R})$
  顯然，若兩表示 $D(G)、\bar{D}(G)$的特征標相等，則相應的 $a_j$ 對應相等，兩表示必等價
  
  上面就是老師的原話，我認為這個證明有很大問題，但沒時間，沒意義，算了，可以找其他書。或者我還沒理解老師的證明。
  必要性證明：依照等價表示的定義，可以證明兩表示等價則每個元素的特征標也對應相等。

• 推論五：判斷有限群表示為可約表示還是不可約表示的方法：有限群表示為不可約表示的充要條件是：特征標模方對群元素求和等於g： $\underset{R\in G}{\sum }|\chi (\mathit{R}){|}^2=g$ .（背）

$\underset{R\in G}{\sum }|\chi (\mathit{R}){|}^2\ge g$：若 $D(R)$ 是可約表示, 則取 $⟩,$ 若是不可約表示, 則取 $=.$

證明：


得證。

• 例題：判斷有限群表示為可約表示還是不可約表示的方法：
  有限群表示為不可約表示的充要條件是 ：特征標模方對群元素求和等於g： $\underset{R\in G}{\sum }|\chi (\mathit{R}){|}^2=g$ .（背）
  由於后面會證明，有限群不等價不可約表示的個數等於群的類數，D3群有三個類，故只有三個不等價不可約表示：
  可以判斷出
  
  因為特征標不是對應相等，故這三個表示不等價。
• 所有一維表示都是不可約的（背）

  可約的等價定義是說表示空間有一個更小的非平庸不變子空間，故一維表示是不可約的。也可以通過有限群表示為不可約表示的充要條件是：特征標模方對群元素求和等於g： $\underset{R\in G}{\sum }|\chi (\mathit{R}){|}^2=g$ .（背）來判斷。

6）將可約表示向不可約表示約化（背，特別是背這3個公式）：

（1）根據
求出重數 $a_j$，對任何一個可約表示，相當於是知道了約化之后右邊的矩陣。
（2）根據
求出相似變換矩陣X（因為和已知）
（3）根據

求出荷載不可約表示的基。
因為是，而荷載是基，故有幾個是和有關的，稱這幾個荷載 $D^j(G)$。

復習：

7）找到一個群的所有不等價不可約表示的方法：

根據完備性定理一節得到的兩條：
（1）有限群不等價不可約表示維數的平方和等於群的階數： $\underset{j}{\sum }{m}_j^2=g$.
（2）有限群不等價不可約表示的個數等於群的類數： $\underset{j}{\sum }1=g_c$.
可以求出低階群的不等價不可約表示。（背）
這給群的不可約表示很多限制。故一個群的不等價不可約表示是很有限的，可以通過這兩條求出低階群的不等價不可約表示，比如D3群，因為不等價不可約表示的個數等於類的個數，D3群有3個類，故它只有3個不可約表示，這三個表示的維數的平方和等於群的階數6，三個數的平方和等於6，故這3個數只能為1，1，2.故D3群的不等價不可約表示是兩個是一維的，一個是二維的。其它低階群也類似。

例題1：D3群

• 先求出表示矩陣，再寫出特征標表，
  
  
• 判斷是否可約：有限群表示為不可約表示的充要條件是 ：特征標模方對群元素求和等於g： $\underset{R\in G}{\sum }|\chi (\mathit{R}){|}^2=g$ .（背）
  
  不等於6，故是可約表示。
  也可以通過前面例題知，因為不等價不可約表示的個數等於類的個數，D3群有3個類，故它只有3個不可約表示，就是前面例題中的3個。故這個三維表示是可約表示。
• 可約表示向不可約表示約化：
  （1）根據
  求出重數 $a_j$，對任何一個可約表示，相當於是知道了約化之后右邊的矩陣。
  根據（注意是對群元素求和，而同類元素特征標相同）和特征標表可以計算出：
  對一維恆等表示，重數：
  對一維非恆等表示：
  對二維表示：

（2）根據
求出相似變換矩陣X（因為和已知）
可以寫出：

注意等式右邊先寫誰后寫誰沒有關系，也可以寫成，沒關系。只是因為這里D的表示矩陣
，故二維表示寫在左上角，一維表示寫在右下角時計算更簡單。
根據前面例題已經求出的一維非恆等表示和二維表示，知：
對元素D：
對元素A：
根據以上兩個公式可以解得

（3）根據

求出荷載不可約表示的基。
因為是，而荷載是基，故有幾個是和有關的，稱這幾個荷載 $D^j(G)$。

根據表示的計算過程：（這里R就相當於 $P_R$)知，荷載之前的可約表示的基 ${\psi }_{\mu }$為 $e_x、e_y、e_z$，根據求出，從而知道荷載二維表示的是 ${\varphi }_1$、 ${\varphi }_2$，荷載一維非恆等表示的是 ${\varphi }_3=e_z$。

例題2

（1）根據
求出重數 $a_j$，對任何一個可約表示，相當於是知道了約化之后右邊的矩陣。

（2）根據
求出相似變換矩陣X（因為和已知）


（3）根據

求出荷載不可約表示的基。
因為是，而荷載是基，故有幾個是和有關的，稱這幾個荷載 $D^j(G)$。
根據和可以求出
。
根據此順序知，荷載二維表示的是 ${\varphi }_1$、 ${\varphi }_2$，荷載一維恆等表示的是 ${\varphi }_3$.

計算得： ${\varphi }_3=x^2+y^2$，其是荷載一維恆等表示的物理原因：若此三角形在二維平面中， $x^2+y^2$是點到原點的距離，它在E,D,F,A,B,C變換下是不變的，故它荷載恆等表示。

例題3

${\varphi }_3=x^2+y^2$，在這題中它還是荷載一維恆等表示，其是荷載一維恆等表示的物理原因：若此三角形在二維平面中， $x^2+y^2$是點到原點的距離，它在E,D,F,A,B,C變換下是不變的，故它荷載恆等表示。

3.完備性定理（完備性定理及其推論3很重要，背：有限群不等價不可約表示維數的平方和等於群的階數；有限群不等價不可約表示的個數等於群的類數）

1）完備性定理：有限群不等價不可約表示維數的平方和等於群的階數： $\underset{j}{\sum }{m}_j^2=g$

有限群的正則表示約化后，其所有不等價不可約表示都將出現，每個不等價不可約表示出現的次數等於其維數。因為沒有零維的，故根據知道所有的不可約表示都會出現。
老師說這個證明當時他學時，他一直懷疑為什么對所有不可約表示都是成立的。說明老師也不是什么都聰明。這個問題是因為維數的平方和就是一個客觀的數，不會依賴於取不取正則表示來推導。

2）完備性定理的推論

推論一：有限群不等價不可約幺正表示的矩陣元素 $D_{\mu \nu }^i(G)$ , 作為群空間的矢量（一個 $i\mu \nu$對應一個矢量），構成群空間的正交完備基，任何群函數 $F(G)$ 均可按它們展開（任何群函數 $F(G)$對應的矢量可以由這組正交完備基展開）：

展開系數：

任何群函數 $F(G)$對應的矢量可以由這組正交完備基展開：

1.推論一證明：根據正交定理知道有限群不等價不可約幺正表示的矩陣元素 $D_{\mu \nu }^i(G)$ , 作為群空間的矢量互相正交。而這些矢量的個數是維數的平方和： $\underset{i}{\sum }{m}_i^2$，根據完備性定理知其等於g。根據線性代數中正交向量組必定是線性無關的，知，這些矢量線性無關，但有限群群空間只能有 $g$ 個線性無關的矢量，故這些矢量還是完備的，故這些矢量構成群空間的正交完備基。得證。
2.及展開系數的證明：

---

群空間正交完備基 $D_{\mu \nu }^i(G)$ 完備性的數學描述：
將上面的第二個公式代入上面的第一個公式，得

對比等式兩邊，因為對任意的R都成立，故

此式就是完備性定理的數學描述。
其正交性由正交定理給出：

---

群空間正交完備基 $D_{\mu \nu }^i(G)$ 的正交完備性
把群空間的正交完備基 $D_{\mu \nu }^i(G)$ 歸一化，構造一個 $g\times g$ 的U矩陣（背）:
（1）背

行指標 $i\mu \nu$的個數： $\underset{i}{\sum }{m}_i^2$，其等於g
列指標R的個數：g
故矩陣（1）的含義：（1）是一個 $g\times g$ 矩陣，其行矩陣就是矢量坐標（這些矢量取為 $D_{\mu \nu }^i(G)$ 的g個函數值），對應（矩陣元素 $D_{\mu \nu }^i(G)$作為群空間的）矢量。
行矩陣的正交歸一給出基的正交性:
（2）
（3）

證明行矩陣的正交歸一給出基的正交性：因為（3）是正交定理，故（3）成立，故（2）成立，即得證。

列矩陣的正交歸一給出基的完備性：

證明同前面行矩陣正交歸一。

---

例 $:D_3$ 群不可約表示矩陣元作為群空間矢量的正交、完備性

根據U矩陣的公式（1）就能寫出下面這個表格，這個表格就是U矩陣。

---

推論二：有限群不等價不可約表示的特征標 ${\chi }^j(G)$ ，作為類空間的矢量（一個j對應一個矢量），構成類空間的正交完備基，任何類函數都可按它們展開（任何類函數 $F(\beta )$對應的矢量可以由這組正交完備基展開）

（5）
展開系數：（6）

注意同類元素特征標相等。
任何類函數 $F(\beta )$對應的矢量可以由這組正交完備基展開“的矩陣形式我沒寫，沒時間。
類空間：類作為基

R和 $SR{S}^{-1}$在同一個類中，因為是類函數，故 $F(R)=F\left(SR{S}^{-1}\right)$。
根據正交定理推論二 $⟨\mathit{X}\mid \mathit{Y}⟩=\underset{R\in G}{\sum }{\chi }^i(\mathit{R}{)}^{\ast }{\chi }^j(\mathit{R})=g{\delta }_{ij}$可以從（5）得到（6）。

推論二證明：
正交可以從正交定理推論二知：
正交定理推論二：有限群兩個不同的不等價不可約表示的特征標，作為群空間的矢量互相正交，滿足： $⟨\mathit{X}\mid \mathit{Y}⟩=\underset{R\in G}{\sum }{\chi }^i(\mathit{R}{)}^{\ast }{\chi }^j(\mathit{R})=g{\delta }_{ij}$（背）
下面證明完備，即證明為什么任何類函數可以按它們展開，即（5）為什么成立：

因為這證明了任何一個類函數都可以用這些特征標展開，故它們就是完備的。
推論二得證。

---

類空間正交完備基 ${\chi }^j(G)$ 完備性的數學描述：

因為此式對任何類都成立，故

此式就是類空間正交完備基 ${\chi }^j(G)$ 完備性的數學描述。
其正交性由正交定理推論二 給出 ：

---

類空間正交完備基 ${\chi }_{\alpha }^j$ 的正交完備性：
把類空間的正交完備基 ${\chi }_{\alpha }^j$ 歸一化，構造一個 $g_c\times g_c$ 的V矩陣 :

$g_c$ 為有限群中類的個數
$n(\alpha )$ 為 $\alpha$ 類中群元素的個數
行矩陣的正交歸一給出基的正交性：

列矩陣的正交歸一給出基的完備性：

---

推論三：有限群不等價不可約表示的個數等於群的類數 $,\underset{j}{\sum }1=g_c$。（背，重要）

證明：因為完備性定理推論二：有限群不等價不可約表示的特征標 ${\chi }^j(G)$ 構成類空間的正交完備基，因為正交，故這些矢量是類空間線性無關矢量，因為完備，且類空間只有 $g_c$ 個線性無關的矢量（這些矢量是完備的，可以展開任何一個其他矢量），故正交完備基這些矢量的個數等於 $g_c$ ；還可以從另一個方法計算這些正交完備基的個數：根據完備性定理推論二知，個數為 $\underset{j}{\sum }1$。故 $\underset{j}{\sum }1=g_c$。故推論三得證，有限群不等價不可約表示的個數等於群的類數 $,\underset{j}{\sum }1=g_c$。

來自為知筆記(Wiz)