算法復雜度O(nlogn)詳解【轉】

算法復雜度O(nlogn)詳解

2017年08月13日 16:15:56 shikelang_pp 閱讀數：2482 標簽： 算法 更多

個人分類： 數據結構

 

首先看以下程序段：https://blog.csdn.net/shikelang_pp/article/details/77145684

for（int i=1;i<=n;i++）

{

          for(int j=1;j<=n;j+=i)

           {

                   .....   //復雜度為O(1);

            }

}

求該程序段的時間復雜度。

可以看出：（1）當i=1時，需要執行n次；

                     （2）當i=2時，需要執行n/2次；

                      （3）當i=3時，需要執行n/3次；

                                .............

                      （4）當i=n-1時，需要執行n/n-1次；

                      （5）當i=n時，需要執行n/n次；

每次的時間復雜度為O（1），則總共的時間復雜度為n(1 +1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +...1/n)。

1 +1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +...1/n是一個調和級數。很早就有數學家研究，比如中世紀后期的數學家Oresme在1360年就證明了這個級數是發散的。Euler(歐拉)在1734年，利用Newton的成果，首先獲得了這個調和級數有限多項和的值。

1+1/2+1/3+1/4+...+1/n= ln(n+1)+r(r為常量)

 

他的證明是這樣的：

根據Newton的冪級數有：

ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x^2 + 1/3x^3 - ...

於是：

1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x^2 - 1/3x^3 + ...

代入x=1,2,...,n，就給出：

1/1 = ln(2) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ...

1/2 = ln(3/2) + 1/2*4 - 1/3*8 + 1/4*16 - ...

......

1/n = ln((n+1)/n) + 1/2n^2 - 1/3n^3 + ...

相加，就得到：

1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + 1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3) + ......

后面那一串和都是收斂的，我們可以定義

1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + r

Euler近似地計算了r的值，約為0.5772156649。這個數字就是后來稱作的 歐拉常數。

回歸到程序本身：

則總共的時間復雜度為：

n(1 +1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +...1/n)

=n(ln(n+1) + r)

=nln(n+1)+rn

因此該程序段的時間復雜度為O（nlogn).