（一）算法時間復雜度定義:
在進行算法分析時，語句總的執行次數T(n)是關於問題規模n的函數，進而分析T(n)隨n的變化情況並確定T(n)的數量級。算法的時間復雜度，也就是算法的時間量度，記作：T(n)=O(f(n))。它表示隨問題規模n的增大，算法執行時間的增長率和f(n)的增長率相同，稱作算法的漸進時間復雜度，簡稱時間復雜度。其中f(n)是問題規模n的某個函數。
（二）分析一個算法的時間復雜度（推導大O階）：
1.用常數1取代運行時間中的所有加法常數。
2.在修改后的運行次數函數中，只保留最高階項。
3.如果最高階項存在且不是1，則去除與這個項相乘的常數。
得到的結果就是大O階。
(1)常數階，大O階記作O（1）。
1 int sum=0,n=100; //執行一次 2 sum=(1+n)*n/2 //執行一次 3 printf("%d",sum); //執行一次
這個算法運行次數函數是f(n)=3，該函數無最高階項，所以記作O(1)，而不是O(3)。
(2)線性階，分析循環結構的運行情況。
(3)對數階
1 int count=1; 2 while (count<n) 3 { 4 count=count*2; 5 }
由於每次count乘以2之后，就距離n更近了一分。也就是說，有多少個2相乘后大於n，則會退出循環。由2的n次方等於n，得到x=log2 n。所以這個循環時間復雜度O(logn)。
(4)平方階
1 int i,j; 2 for(i=0;i<n;i++) 3 { 4 for(j=i;j<n;j++) 5 /*時間復雜度為O(1)的程序步驟序列*/ 6 }
由於當i=0時，內循環執行了n次，當i=1時，執行了n-1次，……當i=n-1次，執行了1次。所以總的執行次數為：
n+(n-1)+(n-2)+……+1=(n^2)/2+n/2
根據推導大O階的方法，第一條，沒有加法常數不予考慮。第二條，只保留最高項，因此保留(n^2)/2;第三條去除這個項相乘的常數，即1/2，最終這段代碼的時間復雜度為O(n^2)。
我們常用大O表示法表示時間復雜性，注意它是某一個算法的時間復雜性。大O表示只是說有上界，由定義如果f(n)=O(n)，那顯然成立f(n)=O(n^2)，它給你一個上界，但並不是上確界，但人們在表示的時候一般都習慣表示前者。
此外，一個問題本身也有它的復雜性，如果某個算法的復雜性到達了這個問題復雜性的下界，那就稱這樣的算法是最佳算法。
“大O記法”：在這種描述中使用的基本參數是 n，即問題實例的規模，把復雜性或運行時間表達為n的函數。這里的“O”表示量級 (order)，比如說“二分檢索是 O(logn)的”,也就是說它需要“通過logn量級的步驟去檢索一個規模為n的數組”記法 O ( f(n) )表示當 n增大時，運行時間至多將以正比於 f(n)的速度增長。
這種漸進估計對算法的理論分析和大致比較是非常有價值的，但在實踐中細節也可能造成差異。例如，一個低附加代價的O(n2)算法在n較小的情況下可能比一個高附加代價的 O(nlogn)算法運行得更快。當然，隨着n足夠大以后，具有較慢上升函數的算法必然工作得更快。
O(1)
Temp=i;i=j;j=temp;
以上三條單個語句的頻度均為1，該程序段的執行時間是一個與問題規模n無關的常數。算法的時間復雜度為常數階，記作T(n)=O(1)。如果算法的執行時間不隨着問題規模n的增加而增長，即使算法中有上千條語句，其執行時間也不過是一個較大的常數。此類算法的時間復雜度是O(1)。
O(n^2)
2.1. 交換i和j的內容
sum=0； （一次）
for(i=1;i<=n;i++) （n次 ）
for(j=1;j<=n;j++) （n^2次 ）
sum++； （n^2次 ）
解：T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)
2.2.
for (i=1;i<n;i++)
{
y=y+1; ①
for (j=0;j<=(2*n);j++)
x++; ②
}
解： 語句1的頻度是n-1
語句2的頻度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1
f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2
該程序的時間復雜度T(n)=O(n^2).
O(n)
2.3.
a=0;
b=1; ①
for (i=1;i<=n;i++) ②
{
s=a+b; ③
b=a; ④
a=s; ⑤
}
解：語句1的頻度：2,
語句2的頻度： n,
語句3的頻度： n-1,
語句4的頻度：n-1,
語句5的頻度：n-1,
T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).
O(log2n )
2.4.
i=1; ①
while (i<=n)
i=i*2; ②
解： 語句1的頻度是1,
設語句2的頻度是f(n), 則：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n
取最大值f(n)= log2n,
T(n)=O(log2n )
O(n^3)
2.5.
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=0;j<i;j++)
{
for(k=0;k<j;k++)
x=x+2;
}
}
解：當i=m, j=k的時候,內層循環的次數為k當i=m時, j 可以取 0,1,...,m-1 , 所以這里最內循環共進行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i從0取到n, 則循環共進行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以時間復雜度為O(n^3).
我們還應該區分算法的最壞情況的行為和期望行為。如快速排序的最 壞情況運行時間是 O(n^2)，但期望時間是 O(nlogn)。通過每次都仔細 地選擇基准值，我們有可能把平方情況 (即O(n^2)情況)的概率減小到幾乎等於 0。在實際中，精心實現的快速排序一般都能以 (O(nlogn)時間運行。
下面是一些常用的記法：
訪問數組中的元素是常數時間操作，或說O(1)操作。
一個算法如 果能在每個步驟去掉一半數據元素，如二分檢索，通常它就取 O(logn)時間。
用strcmp比較兩個具有n個字符的串需要O(n)時間。常規的矩陣乘算法是O(n^3)，因為算出每個元素都需要將n對 元素相乘並加到一起，所有元素的個數是n^2。
指數時間算法通常來源於需要求出所有可能結果。例如，n個元 素的集合共有2n個子集,所以要求出所有子集的算法將是O(2n)的。指數算法一般說來是太復雜了，除非n的值非常小，因為，在 這個問題中增加一個元素就導致運行時間加倍。不幸的是，確實有許多問題 (如著名的“巡回售貨員問題” )，到目前為止找到的算法都是指數的。如果我們真的遇到這種情況，通常應該用尋找近似最佳結果的算法替代之。