素數篩法—時間復雜度O(n)

請你想出一個算法求出n以內(含n)的所有素數，要求算法的時間復雜度越小越好。

 

這里介紹一種算法——快速線性素數篩法（歐拉篩法），時間復雜度O(n)。

訣竅在於：篩除合數時，保證每個合數只會被它的最小質因數篩去。因此每個數只會被標記一次，所以算法時間復雜度為O(n)。

具體請看下面的代碼，主要函數是Prime(n)。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

vector<int> Prime(int n) {  // 求解n以內(含n)的素數
    bool flag[n + 1];   // 標記數組,flag[i]==0表示i為素數,flag[i]==1表示i為合數
    memset(flag, 0, sizeof(flag));
    vector<int> prime;
    int cnt = 0;    // 素數個數
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        if (!flag[i]) {
            prime.push_back(i); // 將i加入素數表
            cnt++;
        }
        for (int j = 0; j < cnt; ++j) { // 保證每個合數只會被它的最小質因數篩去
            if (i * prime[j] > n)  break;
            flag[i * prime[j]] = 1;
            if (i % prime[j] == 0)  break;
        }
    }
    return prime;
}
int main(int argc, char const *argv[])
{
    int n;
    while(1) {
        printf("請輸入n,將輸出n以內(含n)的素數:");
        scanf("%d", &n);
        if(n < 0) break;
        vector<int> prime = Prime(n);
        int cnt = prime.size();
        printf("一共有%d個素數:\n", cnt);
        for(int i = 0; i < cnt; i++) {
            printf("%3d ", prime[i]);
            if(i % 10 == 9) puts("");
        }
        puts("\n");
    }
    return 0;
}

演示結果為：