四、基本幾何變換
圖形的幾何變換是指對圖形的幾何信息經過平移、比例、旋轉、等變換后產生新的圖形。
1、平移變換
平移是一種【不產生變形】而移動物體的【剛體變換】，即物體上的每個點移動相同數量的坐標。下圖是點P(x,y)平移到P*（x*,y*）.
齊次坐標的計算形式為：
Tx,Ty稱為【平移矢量】
2、比例變換
比例變換是指對P點相對於坐標原點沿x軸方向縮放Sx倍，沿y方向縮放Sy倍，其中Sx,Sy稱為比例系數，可以賦予任何【正整數】，值小於1縮小物體的尺寸，值大於1則放大物體，都指定為1，物體尺寸就不會改變。
齊次坐標的計算形式為：
3、對稱變換
對稱變換也稱為反射變換或鏡像變換，變換后的圖形是原圖形關於一軸線或原點的鏡像。
（1）關於x軸對稱
齊次坐標的計算形式為：
（2）關於y軸對稱
齊次坐標的計算形式為：
4、旋轉變換
首先確定當基准點為坐標原點時，點位置P旋轉的變換方程，應用標准三角特性，利用角度α,θ將轉換后的坐標表示為：
在極坐標系中點的原始坐標為：
將x,y代入上式，就得到相對於原點將在位置(x,y)處的點旋轉θ角的變換方程
二維圖形繞原點【逆】時針旋轉θ角的齊次坐標計算式可寫為：
二維圖形繞原點【順】時針旋轉θ角的齊次坐標計算式可寫為：
5、錯切變換
在圖形學的應用中，有時需要產生彈性物體的變形處理，這就需要用到錯切變換。
變換矩陣中的非對角線元素大都為零，若變換矩陣中的非對角元素不為0，則意味着x,y同時對圖形的變換起作用。也就是說。變換矩陣中非對角線元素起着把圖形沿x方向或y方向錯切的作用。
x值或y值越小，錯切量越小；x值或y值越大，錯切量越大。其變換矩陣為：
（1）沿x方向錯切
當b=0時，有：
四、復合變換
復合變換就是指圖形作一次以上的幾何變換，變換結果是每次的【變換矩陣相乘】。
——>任何一個復雜的幾何變換都可以看作基本幾何變換的組合形式。
（1）二維復合平移
p點經過兩次【連續】的平移后，其變換矩陣可寫為：
（2）二維復合比例平移
p點經過兩個【連續】比例變換后，其變換矩陣可寫為：
——>兩個連續比例變換是相乘的
（3）二維復合旋轉
p點經過兩個【連續】旋轉變換后，其變換矩陣可寫為：
——>兩個連續旋轉是相加的
【注意：矩陣乘法不滿足交換率】
（4）坐標系之間的變換
eg:下圖顯示了兩個笛卡爾坐標系xoy和x'o'y'，而o'點在xoy坐標系的(x0,y0)處，為了將p(xp,yp)點從xoy坐標系變換到x'o'y'坐標系如何進行計算？
可分為兩步進行：
1>將x'o'y'坐標系的原點平移至xoy坐標系的原點——平移變換
2>將x'軸旋轉到x軸上——旋轉變換
變換矩陣表示為：
（5）相對任意參考點的二維幾何變換
比例、旋轉變換等均與參考點相關，變換過程如下：
a、將固定點移至坐標原點，此時進行平移變換
b、針對原點進行二維幾何變換
c、進行反平移，將固定點又移回原來的位置
五、二維變換矩陣
二維空間中某點的變化可以表示成點的齊次坐標與3階的二維變換矩陣T2d相乘，即：
六、二維幾何變換的計算
（1）點的變換
（2）直線的變換
直線的變換可以通過對直線兩端點進行變換，從而改變直線的位置和方向
（3）多邊形的變換
多邊形的變換是將變換矩陣作用到【每個頂點】的坐標位置，並按新的頂點坐標值和當前屬性設置來生成新的多邊形。
七、窗口視區變換
1、窗口和視區
【世界坐標系中】要顯示的區域稱為窗口，窗口定義顯示什么。
窗口映射到【顯示器（設備）上】的區域稱為視區，視區定義在何處顯示。
世界坐標系中的一個窗口可以對應於多個視區。
2、觀察變換
（1）變焦距效果
當窗口變小時，由於【視區大小不變】，就可以放大圖形對象的某一部分，從而觀察到在較大的窗口時未顯示出的細節。
——>類似於照相機的變焦處理
（2）整體縮放效果
當窗口大小不變而視區大小發生變化時，得到整體放縮效果，這種放縮【不改變】觀察對象的內容。
若把一個固定大小的窗口在一幅大圖形上移動，視區不變會產生【漫游效果】。
3、窗口到視區的變換
窗口到視區的【映射】是【基於一個等式】，即對每一個在世界坐標下的點(x,y)，產生屏幕坐標系中的一個點(sx,sy)
這個映射是“保持比例”的映射——>使得這個映射有線性形式
其中A、B、C、D是常數
首先考慮x的映射，保持比例的性質說明：
又因為
，可知：A看作放大x的部分，C看作常數
同理，y方向上保持比例性質滿足：
這個映射可用於【任意點(x,y)】，不管它是否在窗口之中。
在窗口【中】的點映射到視區【中】的點，在窗口【外】的點映射到視區【外】的點。