靜態的定義
對於在三維空間里的一個參考系，任何坐標系的取向，都可以用三個歐拉角來表現。參考系又稱為實驗室參考系，是靜止不動的。而坐標系則固定於剛體，隨着剛體的旋轉而旋轉。
參閱右圖。設定xyz-軸為參考系的參考軸。稱xy-平面與XY-平面的相交為交點線，用英文字母（N）代表。zxz順規的歐拉角可以靜態地這樣定義：
是x-軸與交點線的夾角，
是z-軸與Z-軸的夾角，
是交點線與X-軸的夾角。
很可惜地，對於夾角的順序和標記，夾角的兩個軸的指定，並沒有任何常規。科學家對此從未達成共識。每當用到歐拉角時，我們必須明確的表示出夾角的順序，指定其參考軸。
實際上，有許多方法可以設定兩個坐標系的相對取向。歐拉角方法只是其中的一種。此外，不同的作者會用不同組合的歐拉角來描述，或用不同的名字表示同樣的歐拉角。因此，使用歐拉角前，必須先做好明確的定義。
角值范圍[編輯]
值從0至
弧度。- 值從0至
弧度。
對應於每一個取向，設定的一組歐拉角都是獨特唯一的；除了某些例外：
- 兩組歐拉角的，一個是0，一個是，而與分別相等，則此兩組歐拉角都描述同樣的取向。
- 兩組歐拉角的，一個是0，一個是，而與分別相等，則此兩組歐拉角都描述同樣的取向。
旋轉矩陣[編輯]
前面提到，設定剛體取向的旋轉矩陣![[\mathbf{R}]](/image/aHR0cHM6Ly9pbWFnZXMyMDE4LmNuYmxvZ3MuY29tL2Jsb2cvMTQ3MDY4NC8yMDE4MDgvMTQ3MDY4NC0yMDE4MDgyMTE3MTgzMjQ4Ni0xNzI3MzY4NDY5LnBuZw==.png)
是由三個基本旋轉矩陣合成的：
![[\mathbf{R}] = \begin{bmatrix}
\cos \gamma & \sin \gamma & 0 \\
-\sin \gamma & \cos \gamma & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos \beta & \sin \beta \\
0 & -\sin \beta & \cos \beta \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
\cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\
-\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{bmatrix}](/image/aHR0cHM6Ly9pbWFnZXMyMDE4LmNuYmxvZ3MuY29tL2Jsb2cvMTQ3MDY4NC8yMDE4MDgvMTQ3MDY4NC0yMDE4MDgyMTE3MTgzMjY0NC0xMzMwODkzNDEzLnBuZw==.png)
從左到右依次代表繞着z軸的旋轉、繞着交點線的旋轉、繞着Z軸的旋轉。
經過一番運算,
![[\mathbf{R}] = \begin{bmatrix}
\cos\alpha\cos\gamma-\cos\beta\sin\alpha\sin\gamma & \sin\alpha\cos\gamma+\cos\beta\cos\alpha\sin\gamma & \sin\beta\sin\gamma
\\-\cos\alpha\sin\gamma-\cos\beta\sin\alpha\cos\gamma & -\sin\alpha\sin\gamma+\cos\beta\cos\alpha\cos\gamma & \sin\beta\cos\gamma
\\ \sin\beta\sin\alpha & -\sin\beta\cos\alpha & \cos\beta
\end{bmatrix}](/image/aHR0cHM6Ly9pbWFnZXMyMDE4LmNuYmxvZ3MuY29tL2Jsb2cvMTQ3MDY4NC8yMDE4MDgvMTQ3MDY4NC0yMDE4MDgyMTE3MTgzMjgyMi03MTU4MTg5MjQucG5n.png)
的逆矩陣是：
![[\mathbf{R}]^{-1}= \begin{bmatrix}
\cos\alpha\cos\gamma-\cos\beta\sin\alpha\sin\gamma & -\cos\alpha\sin\gamma-\cos\beta\sin\alpha\cos\gamma & \sin\beta\sin\alpha
\\ \sin\alpha\cos\gamma+\cos\beta\cos\alpha\sin\gamma & -\sin\alpha\sin\gamma+\cos\beta\cos\alpha\cos\gamma & -\sin\beta\cos\alpha
\\ \sin\beta\sin\gamma & \sin\beta\cos\gamma & \cos\beta
\end{bmatrix}](/image/aHR0cHM6Ly9pbWFnZXMyMDE4LmNuYmxvZ3MuY29tL2Jsb2cvMTQ3MDY4NC8yMDE4MDgvMTQ3MDY4NC0yMDE4MDgyMTE3MTgzMzAxNy01MjEzNjExNzcucG5n.png)
別種順序[編輯]
在經典力學里，時常用zxz順規來設定歐拉角；照着第二個轉動軸的軸名，簡稱為x順規。另外，還有別種歐拉角組。合法的歐拉角組中，唯一的限制是，任何兩個連續的旋轉，必須繞着不同的轉動軸旋轉。因此，一共有12種順規。例如，y順規，第二個轉動軸是y-軸，時常用在量子力學，核子物理學，粒子物理學。另外，還有一種順規，xyz順規，是用在航空航天工程學；參閱Tait-Bryan angles。