數論——原根

參照篇原根博客：https://blog.csdn.net/fuyukai/article/details/50894609

1.原根定義

（1）假設一個數g對於P來說是原根，那么g^i mod P的結果兩兩不同,且有 1<g<P, 1<i<P,那么g可以稱為是P的一個原根

簡單來說，g^i mod p ≠ g^j mod p （p為素數）

 

（2）如果從歐拉函數的角度定義，我們可以先引進一個概念： 階

關於階可以看這里： https://blog.csdn.net/a27038/article/details/77203892
此時給原根下定義：

如果  a 與 n 是互質的整數且n>0，那么當 ordna=φ(n)時，稱aa為模n的原根。 

 

有個結論：如果g是P的原根，就是g^(P-1) = 1 (mod P)當且僅當指數為P-1的時候成立.(這里P是素數).

證明（轉）：

首先看一下歐拉定理：

歐拉定理（也稱費馬-歐拉定理或歐拉函數定理）是一個關於同余的性質。歐拉定理表明，若為正整數，且互素（即），則

因此，在 時，定義 對模 的指數 為使 成立的最小的正整數 。由前知  一定小於等於  ，若 ，則稱 是模 的原根。

 

2.如何求解：

一、枚舉

從2開始枚舉，然后暴力判斷g^(P-1) = 1 (mod P)是否當且當指數為P-1的時候成立

而由於原根一般都不大，所以可以暴力得到.

二、講究方法

定理：如果模m有原根，那么他一共有個原根。 
定理：如果p為素數，那么素數p一定存在原根，並且模p的原根的個數為個。 
定理：假設m是正整數，a是整數，如果a模m的階等於，則稱a為模m的一個原根。 
模m有原根的充要條件：m=2,4,P^a,2*P^a……. 
求模素數P的原根的方法：對P-1素因子分解，即P-1=(P1^a1)(P2^a2)…..(Pk^ak)。，若恆有成立，那么g就是P的原根(對於合數而言,只需要把p-1換成即可)

求解一個數最小原根代碼：

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MAX_N = 1000010;
typedef long long ll;

int prime_cnt, factor_cnt, p;
int vis[MAX_N], prime[MAX_N], factor[MAX_N];

void GetPrime()
{
    prime_cnt = 0;
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    for(int i = 2; i < MAX_N; i++){
        if(!vis[i]){
            prime[prime_cnt++] = i;
            for(int j = 0; j < prime_cnt && prime[j] * i < MAX_N; j++){
                vis[i * prime[j]] = 1;
                if(i % prime[j] == 0) break;
            }
        }
    }
}

void Factor(int x)
{
    factor_cnt = 0;
    int t = (int) sqrt(x + 0.5);
    for(int i = 0; prime[i] <= t; i++){
        if(x % prime[i] == 0){
            factor[factor_cnt++] = prime[i];
            while(x % prime[i] == 0) x /= prime[i];
        }
    }
    if(x > 1) factor[factor_cnt++] = x;
}

ll quick_pow(ll n, ll m, ll mod)
{
    ll res = 1, tmp = n % mod;
    while(m){
        if(m & 1) res = res * tmp % mod;
        tmp = tmp * tmp % mod;
        m >>= 1;
    }
    return res;
}

void solve()
{
    Factor(p - 1);
    for(int g = 2; g < p; g++){
        bool flag = true;
        for(int i = 0; i < factor_cnt; i++){
            int t = (p - 1) / factor[i];
            if(quick_pow((ll)g, (ll)t, (ll)p) == 1){
                flag = false;
                break;
            }
        }
        if(flag){
            cout << g << endl;
            break;
        }
    }
}

int main()
{
    GetPrime();
    while(cin >> p){
        solve();
    }
    return 0;
}