時隔兩三個月重新打$ntt$的時候，已經忘記了常見模數的原根。
想要回憶原根的求法，以備不時之需，然而也忘記了。
所以頹了大神$yxs$的證明博客，為了防止再次遺忘，來復讀一遍大神的做法和證明。
做法：
因為原根往往很小，所以可以采用暴力枚舉的方法。
然而直接暴力$check$的復雜度並不是合法的。
一個可行的$check$方法：
對$\varphi(p)$質因數分解，得到$y_i=\frac{\varphi(p)}{p_i}$
設當前$check$的數為$x$
對每個$y_i$，快速冪求出$x^{y_i}$，若均不為$1$，那么$x$為$p$的一個原根。
證明：
若$x^i \equiv 1$ $(mod\ p)$，有$x^{i*k} \equiv 1$ $(mod\ p)$。
若存在$x^k \equiv 1$ $(mod\ p)$ $(0<k<\varphi(p))$，$x$一定不為原根，所以該做法具有必要性。
下面通過反證證明充分性。
設存在$x^k \equiv 1$ $(mod\ p)$ 其中$k$不被任意$y_i$整除。
一定存在一組$u,v$滿足$u*k+v*\varphi(p)=gcd(k,\varphi(p))$。
有$u*k=gcd(k,\varphi(p))-v*\varphi(p)$。
因為$x^{u*k} \equiv 1$ $(mod\ p)$，
有$x^{gcd(k,\varphi(p))-v*\varphi(p)} \equiv 1$ $(mod\ p)$。
因為$x^{v*\varphi(p)} \equiv 1$ $(mod\ p)$，
有$x^{gcd(k,\varphi(p))} \equiv 1$ $(mod\ p)$，
顯然存在$y_i$為$gcd(k,\varphi(p))$的倍數，所以不存在這樣的$k$。