如果讓你說說連續小波變換最大的特點是什么？
多分辨分析肯定是標准答案。所謂多分辨分析即是指小波在不同頻率段會有不同的分辨率。具體表現形式，我們回到前一篇文章的第一個圖，
圖一
對應的信號為
低頻時（頻率為4），對應彩色條紋更細，意味着更高的頻率分辨率，而條紋區間大概落在【0，2.5】之間，這意味着較低的時間分辨率。同理，高頻時，對應更低的頻率分辨率和更高的時間分辨率。這是小波最為人知的特性，也是它被稱為“數學顯微鏡”的原因，接下來我們一起探討下為何小波具有這種特征
還記得上一篇文章的最后一張圖么？
什么？不記得了。好吧，我再放一次
圖二
前面說到，小波就是一個帶通濾波器，它只允許頻率和自己本身中心頻率相近的信號通過。那么這個相近，到底相差多少才叫相近呢？上圖，很明顯可以看到，不同頻率小波基函數在頻域的帶寬是不一樣的，低頻時的帶寬窄，高頻是的帶寬要更寬一點。而帶寬越窄，意味着小波這個帶通濾波器，允許通過的頻率越接近小波本身的中心頻率，即頻率分辨率越高，反之，帶寬越寬，對應的頻率分辨率越低
那么，問題來了，小波的帶寬是和小波中心頻率大小有關么？
of course not，啊，你不信啊？
這樣吧，我們假設這樣一系列“小波基函數”：
來看看這五個“小波基函數”在頻域的長相，
圖三
咦，怎么帶寬都一樣。圖三和圖二小波基函數的中心頻率不是一樣嗎？怎么頻域的帶寬不一樣呢？也就是帶寬和中心頻率的大小木有一毛錢的關系。好了，此時我們就可以排除中心頻率大小對帶寬的影響了。
繼續探究帶寬大小和什么有關，這個時候時域的圖像就該商場了，當當~
圖四
圖五
圖四和圖五分別對應圖二和圖三那五個“小波基函數”的時域圖像（只畫出來實部）。好了，聰明的你可定已經明白了，嗯，我來把你的想法說出來。還是先對比下這兩組（圖四和圖五）基函數表達式的區別：
兩個表達式只在衰減函數的部分有區別，一個有尺度a，另一個沒有。有什么區別么？看圖四中明顯看出基函數長度不一，雖然在程序中給出他們所有的時域區間均為【-4Π，4Π】，但是他們的支撐區間（非零區間）都不一樣，這主要是由於衰減函數
導致的。a越大，衰減越慢，支撐區間也就越大，反之，亦然。而圖五所有基函數支撐區間長度是基本一致的，這是由於其衰減函數
不含長度a這個參數的原因，換句話說，尺度參數a不僅可以用來生成一些列的不同中心頻率的基函數，還可以控制基函數在時域的支撐區間。如果把基函數時域支撐區間叫做窗口長度，那么圖三圖五對應的就是窗口不變的傅里葉變換，即我們熟悉的另一種時頻變換—加窗傅里葉變換（也就是短時傅里葉變換STFT），而圖二和圖四對應的就是窗口可變的傅里葉變換，這就是我們要講解的小波變換。
這個時候我們就明白了，頻域的帶寬和時域的支撐區間有關系的，也知道他們之間是什么關系。
那么窗口長度和頻率分辨率有關系么？
of course，回到第二張圖
圖六（其實就是圖二了）
基函數在頻域的帶寬越窄，對應的頻率分辨率就越高，那么假設有這樣一個基函數他在頻率是這樣的：
這個時候，圖中就不是一個尖峰了，而是一條豎着的完美直線。為什么說完美呢？因為那是不可能實現的。從時域變換到頻域用的是傅里葉變換，而傅里葉變換是在一個【-∞，+∞】上的積分變換？請問，你能做出這樣一個在整個實數域的數值積分變換嗎？顯然，不能。我們只能在某一個區間做傅里葉變換，而這個區間越大，那么在頻域的圖像就越像一條豎線，所以我們剛剛看到，頻率越低，意味着尺度越大，基函數時域支撐區間越長，頻域帶寬越窄，即頻率分辨率越高。
而時間分辨率又是怎么一回事呢我想這個應該很好解釋。傅里葉變換是一個全局整體的積分，所以是沒有時間分辨率的，如果，對信號進行分段的傅里葉變換，也就是加窗傅里葉變換，那么每一段時域信號便會對應一個頻譜，這個時候，時間分辨率就出來了，如果加的窗口越短，定位的時間越准確，時間分辨率越高
圖七
圖八
圖七和圖八中，圖七的時間分辨率肯定更高，因為它的窗口短，時間定位更准，但是正是因為其窗口短，使得其頻率分辨率更低
而小波變換中，通過尺度a分別同時與中心頻率和基函數支撐區間產生關系，使得時間，頻率分辨率和頻率產生關系。
總結下就是，尺度a是一個很重要的參數，因為它不僅僅能產生一系列中心頻率不同的小波基函數（帶通濾波器），還可以控制基函數在時域的支撐區間（帶通濾波器的帶寬），進而控制時間分辨率和頻率分辨率。所以，表現出來的就是時間分辨率和頻率有一定的關系。
而時間頻率分辨率的矛盾在於，a越大，支撐區間的長度，越長，頻率分辨率越高，時間分辨率越低，反之亦然，最后用一張圖來說明這尺度，分辨率，頻率這復雜的三角關系
最后：
問題一：為什么在信號處理中只用傅里葉變換和小波變換？
信號處理怎么會 只有傅里葉變換和小波呢，只不過用的多些罷了（哈哈），這個要具體問題具體分析，如果是平穩周期信號，當然是傅里葉比較好，如果是非平穩非周期信號（常見的）當然是小波比較好，所謂的變換也不過是“搞基”，基就是描述信號特征的特征向量，而像傅里葉和小波這些比較固定的基，未必是對信號的一個最好的描述。
問題二：小波變換的優缺點：
優點：
（1）它繼承和發展了短時傅里葉變換的局部化思想，同時又克服了窗口大小不隨頻率變化等缺點，能夠提供一個隨頻率改變的“時間-頻率”窗口，是進行信號時頻分析和處理的理想工具。
（2）它的主要特點是通過變換能夠充分突出問題某些方面的特征，能對時間（空間）頻率的局部化分析，通過伸縮平移運算對信號（函數)逐步進行多尺度細化，最終達到高頻處時間細分，低頻處頻率細分，能自動適應時頻信號分析的要求，從而可聚焦到信號的任意細節，解決了Fourier變換的困難問題，成為繼Fourier變換以來在科學方法上的重大突破。
缺點：
（1）小波基的選取太難了，並且不同的小波基分析結果不同
問題三：其他幾個變換干啥用呢？三者之間的關系
一 傅里葉級數展開與傅里葉變換
之所要將一個信號 f(t) 進行傅里葉級數展開 或 傅里葉變換 是因為一般 自然界信號都非常復雜，且表面上並不能直觀的變現出 頻率與幅值 的關系，而一個信號的大部分 有效信息 恰隱藏於 其頻譜上，即其 幅頻關系 和相頻關系 上。通過傅里葉 級數展開 或 傅里葉變換，可將自然界的 復雜信號 分解 成 簡單信號 的 疊加， 有規律的 基本信號之和 或積分形式，並且可以明確表達出 周期信號 的 離散頻譜 和 非周期信號 的 連續頻譜 函數。
傅里葉級數展開 是對於 周期信號 而言，如果該周期信號滿足 狄利克雷 條件（在電子和通信中大部分周期信號均滿足），周期信號 能展開成 一組 正交函數 的 無窮級數 之和，三角函數集 在一個周期內 是 完備的正交函數集，使用 三角函數集 的周期函數展開就是傅里葉級數展開，而 歐拉公式 是將 三角函數和復指數連接了起來，所以 傅里葉級數可展開為 三角函數 或 復指數 兩種形式，此時就可畫出 信號的 頻譜圖，便可直觀的看到 頻率和幅值和相位 的關系。
既然是 級數和 展開，則上述頻譜圖中 橫軸表示n倍的角頻率，是一個離散頻譜圖，那么由離散頻譜的間隔於周期 反比關系 知當 f(t)的 周期T趨向於無窮大 時，周期信號 變成了 非周期信號，譜間 間隔 趨近於 無窮小，譜線無限的密集而變成連續頻譜，則連續頻譜 即為頻譜密度函數，簡稱頻譜函數，該表達式即是我們熟悉的傅里葉變換，傅里葉變換將信號的時間函數變為頻率函數，則其反變換是將頻率函數變為時間函數，所以傅里葉變換建立了信號的時域和頻域之間的關系，而傅里葉變換的性質則揭示了信號的時域變換相應的引起頻域變換的關系。
二、傅里葉變換和拉氏變換
上述的傅里葉變換必須是在一個信號滿足絕對可積的條件下才成立，那么對於 不可積 的信號，我們要將它從 時域 移到 頻域 上，就要將原始信號乘上一個衰減信號，將其變為絕對可積信號再做傅里葉變換，即為：
變為拉氏變換，如令δ=0則拉氏變換變成了 傅里葉變換，所以傅里葉變換是S域 僅在虛軸上取值 的拉氏變換，拉氏變換是傅里葉變換的推廣，拉氏變換的收斂域 是
滿足絕對可積條件的δ值的范圍，在收斂域內可積，拉氏變換存在，在收斂域外不可積，拉氏變換不存在。拉氏變換針對於連續時間信號，主要用於連續時間系統的分析中，對於一個線性微分方程兩邊同時進行拉氏變換，可將微分方程轉化為簡單的代數運算，可方便求出系統的傳遞函數，簡化了運算
三、拉氏變換和Z變換
對於離散的時間信號和系統而言，我們對理想取樣信號表達式兩邊進行拉氏變換，再以
帶入 可得Z變換的表達式
所以從理想取樣信號的拉氏變換到Z變換，就是由復變量S平面到復變量Z平面的映射變換，映射關系是
，可見Z變換也可以看作是取樣信號拉氏變換的一種特殊情況，此時
，
則Z、變換可看作是針對離散的信號和系統的拉氏變換，由
可以看到
時，Z是一個半徑為1的單位元，當
時，Z的幅值小於1，即S域上虛軸的左邊對應Z域額單位園內，反之，S域上虛軸右邊對應Z域的單位圓外。
四、傅里葉級數展開與Z變換
對於傅里葉級數展開而言，一般 周期信號 的 頻譜 都具有 離散型，諧波性 和 收斂性，但如果一個周期信號的頻譜不收斂，我們將它從時域移到頻域上，就要將原始信號頻譜乘上一個衰減信號將其變為收斂再做傅里葉級數展開。有
即為Z變換，如令
，則Z變換就變成了傅里葉級數展開，所以傅里葉級數展開是Z域僅在單位圓上取值的Z變換，Z變換是傅里葉級數展開的推廣。對於給定的序列x(n),使級數
收斂的Z平面中的區域稱為其收斂域。
采樣定理是連續時間信號和系統與離散時間信號和系統的橋梁，以上三個變換均滿足線性性質，即疊加性和齊次性。
具體三種分析應該是這樣的：
傅里葉分析包含傅里葉級數與傅里葉變換。傅里葉級數用於對周期信號轉換，傅里葉變換用於非周期信號轉換。
但對於不收斂的信號，傅里葉變換無能為力，只能借助拉普拉斯變換（添加了衰減函數），主要用於計算 微分方程，而Z變換則可以算作是離散的拉普拉斯變換（主要計算差分方程）
從復平面來說，傅里葉分析注意虛數部分，拉普拉斯變換則關注全部復平面，而Z變換則是將拉普拉斯的復平面投影到Z平面，將虛軸變為一個圓環。