本文主要針對如何判斷有向圖/無向圖中是否存在環的問題進行簡單的論述。
一 無向圖
1.利用DFS進行判斷
利用DFS判斷有向圖是否存在環，是最為常用的一種方法，雖然這種方法很常用，但可參考的代碼的實現比較少，下面對這種方法及其實現進行詳細的闡述。
首先，利用DFS判斷無向圖中是否換的原理是：若在深度優先搜索的過程中遇到回邊(即指向已經訪問過的頂點的邊)，則必定存在環。
所以說，是否存在環的關鍵在於是否存在滿足條件的“回邊”，那么如何判斷回邊呢？
(1)首先，對圖中的所有頂點定義三種狀態：頂點未被訪問過、頂點剛開始被訪問、頂點被訪問過並且其所有鄰接點也被訪問過。這三種狀態，在visited數組中分別用0、1、2來表示。那么，存在環的情況可以定義為：在遍歷過程中，發現某個頂點的一條邊指向狀態1的頂點，此時就存在環。狀態2可以理解為其生成樹上的所有的子孫節點都已經訪問完。
(2)此外，我們要定義一個father數組，用以存儲在DFS過程中頂點的父頂點(或者說是生成樹上的父節點)。其主要作用是為了區分鄰接點中環中的頂點和遍歷過程中的父節點 (單純的用visited數組無法區分)。
整個過程的實現代碼如下：
#define MAX_NUM 100
#define INF 0x7fffffff
/*DFS判斷無向圖中是否有環*/
class Graph
{
public:
int vertexNum;//頂點個數
int arcNum;//弧的個數
int vertex[MAX_NUM];//頂點表
int arc[MAX_NUM][MAX_NUM];//弧信息表
};
int visited[MAX_NUM];//頂點訪問表
int father[MAX_NUM];//父節點表
void DFS(int v,Graph G)
{
visited[v] = 1;
for(int i = 0 ; i < G.vertexNum; i++)
{
if(i != v && G.arc[v][i] != INF)//鄰接矩陣中節點v的鄰接點
{
if(visited[i] == 1 && father[v] != i)//vi不是父節點，而且還訪問過(而且為狀態1，說明不是回溯過來的頂點)，說明存在環(判斷i不是v的父節點)
{
cout<<"圖存在環";
int temp = v;
while(temp != i)
{
cout<<temp<<"<-";//輸出環
temp = father[temp];
}
cout<<temp<<endl;
}
else
if(visited[i] == 0)
{
father[i] = v;//更新father數組
DFS(i,G);
}
}
}
visited[v] = 2;//遍歷完所有的鄰接點才變為狀態2
}
void DFSTraverse(Graph G)
{
memset(visited,0,sizeof(visited));
memset(father,-1,sizeof(father));
for(int i = 0 ; i < G.vertexNum; i++)
if(!visited[i])
DFS(i,G);
}
由此可見，visited數組相對於一般的情況，增加了個狀態2，主要是為了防止在回溯過程中進行誤判。所以才能僅用father數組和狀態1判斷存在環。
狀態2可以理解為其生成樹上的所有的子孫節點都已經訪問完。
由於使用的是鄰接矩陣來存儲，所以該算法的時間復雜度為O(n^2),空間復雜度為O(n)。
2.其他方法本文不再詳述。
二 有向圖
1.拓撲排序
關於拓撲排序，資料很多，本文不再詳述其原理，只給出其實現代碼，代碼如下：
#include<iostream>
#include<unordered_map>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<sstream>
#include<set>
#include<map>
#include<stack>
using namespace std;
#define MAX_NUM 100
#define INF 0x7fffffff
/*拓撲排序*/
int indegree[MAX_NUM];//用以表示每個頂點的入度
bool visited[MAX_NUM];//用以表示該頂點是否入棧
class Graph
{
public:
int vertexNum;//頂點個數
int arcNum;//弧的個數
int vertex[MAX_NUM];//頂點表
int arc[MAX_NUM][MAX_NUM]= {{0,1,1},{INF,0,1},{INF,INF,0}}; //弧信息表
};
void Initindegree(Graph G)//初始化入度數組
{
memset(indegree,0,sizeof(indegree));
for(int i = 0; i < G.vertexNum; i++)
for(int j = 0; j < G.vertexNum; j++)
{
if(i != j && G.arc[i][j] != INF)
indegree[j]++;//注意此處增加的是頂點vj的入度
}
memset(visited,0,sizeof(visited));
}
bool TuoPu(Graph G)
{
stack<int> s;
int cnt = 0;//用於記錄拓撲序列中節點的個數
for(int i = 0 ; i < G.vertexNum; i++)
if(indegree[i] == 0)
{
s.push(i);
visited[i] = true;//修改入棧頂點的入棧標記數組
}
while(!s.empty())
{
int v = s.top();
cnt++;//頂點出棧得到時候，計數器加1
s.pop();
for(int i = 0; i < G.vertexNum; i++)
{
if(v != i && G.arc[v][i] != INF && visited[i] == false)//將所有頂點v的未入棧的鄰接點的入度都減去1
{
indegree[i]--;
if(indegree[i] == 0)//如果減1后入度為0了，此時需要將該鄰接點入棧，且修改入棧標記數組
{
visited[i] = true;
s.push(i);
}
}
}
}
return cnt == G.vertexNum ? true : false;
}
int main()
{
Graph G;
G.vertexNum = 3;
Initindegree(G);
cout<<TuoPu(G)<<endl;
}
2.利用改進的DFS
對於有向圖的話，如果直接應用一般的DFS的話，會出現誤判的情況，一個典型的例子是：A->B,A->C->B,我們用DFS來處理這個圖，我們會得出它有環，但實際上並沒有。然而，本文中所說的無向圖的DFS判斷算法完全可以直接應用到有向圖中來，即上述代碼可以直接應用到有向圖中來。所以說上述的DFS算法(或稱為為改進的DFS算法)既適用於無向圖，也適用於有向圖。其對應的原理適用於這兩種圖，即只要我們在遍歷過程中，只要發現一個頂點不是當前節點的父節點，同時他還被訪問過了(狀態為1)，那么就可以認為此處存在環。(通常在DFS中一個頂點的未被訪問的鄰接點，相當於生成樹中的該頂點的子孫節點)