離散數學的一些概念

１.前束范式

一個公式，如果量詞均在全式的開頭，它們的作用域延伸到整個公式的末尾，則稱為是前束范式。例如：(x)(y)(z)（Q(x,y)→R(z)）的地方是並或交。任何一個謂詞公式都有一個前束范式等價。

２.容斥原理

ｎ個集合的並集的元素的個數＝每個集合元素的個數和－兩兩集合交＋三三集合交＋（－１）＾ｎ＋１ｎ個集合交。

比如對於ｎ＝２來說，｜A＋B｜＝｜A｜＋｜Ｂ｜－｜Ａ∩B｜

３.集合恆等式

冪等律、交換律、結合律、分配律、德摩根率、吸收率、同一律。

４.序偶＜ａ，ｂ＞

笛卡兒積是兩個集合中所有元素兩兩相乘，不滿足交換律、結合律、滿足分配律。

５．關系的概念

序偶可以反映集合間元素的關系，對於二元關系F，若＜ｘ，ｙ＞∈F，記作ｘＦｙ。

那么重要：A，B是任意兩個集合，A×B即兩個笛卡兒積的任意子集R成為A到B的二元關系（注意是任一子集。個數也同子集總數相同）

設集合A有n個元素,問A上可能的二元關系有多少個？

答：集合A上的二元關系與A×A的子集個數相同。若|A|=n，則|A×A|=n2, AA的子集個數就有2的n2次方個。所以A上不同的二元關系有2的n2次方個。 例如，集合A={a,b}上的二元關系有16個。

另外要注意，空關系和恆等關系（這兩個是平凡的）

６.關系的性質

自反性、反對稱、對稱性、反對稱性、傳遞性。

自反性：Ａ是一個集合，那么對於R∈A×A，如果有ｘＲｘ，那么就說R在A上是自反的二元關系。比如：集合上的全域關系、恆等關系、小於等於關系都是自反的二元關系。

反自反關系：即對於任意ｘ∈A，均有＜ｘ，ｘ＞不屬於R。比如：小於關系。空關系既是自反的又是非自反的。

對稱性：對於ｘ，ｙ∈A，那么如果有ｘＲｙ，ｙＲｘ，則R是A上對稱的二元關系。比如：恆等關系、全域關系。

小於等於是反對稱性。傳遞性就比較好理解了。

７.關系的閉包（包含所有給定的對象，並且具有制定性質的最小集合）

自反閉包、對稱閉包、傳遞閉包。／／對這個其實還不太理解

８.等價關系和划分。

等價關系：R包含於A×A，且A不為空集，若R具有自反、對稱、傳遞性，那么R就是等價關系。

等價類：由等價關系形成的划分吧。

９.等勢。

等勢: 設A,B為兩個集合，若存在從A到B的雙射函數，則稱A與B是等勢的. A  B  雙射 f:AB

那么證明等勢就通過直接或者間接構造雙射。

１０.基數。

是對｜A｜的推廣，偶數集的基數就是無窮。

１１.圖的同構關系是等價關系。

１２.強連通是雙向聯通，有向圖中任意對頂點之間都相互可達。也就是圖中有回路過每個頂點至少一次。

１３.歐拉圖是經過圖中所有的邊且每條邊僅經過一次－簡單回路。哈密頓圖是經過圖中所有的點且每個點僅經過一次。