Segment Tree Beats 區間最值問題

線段樹一類特殊技巧！

引出：CF671C Ultimate Weirdness of an Array

其實是考試題，改題的時候並不會區間取最值，區間求和，之后秉承着好好學習的態度，學習了Segment tree Beats

套路是維護出區間最小值和次小值，以及區間最小值數量。之后再維護出題目中需要的東西就好了。之后怎么處理呢，如果我們需要維護出區間和x取max，那么，如果x<=minn[rt]，那么直接return;如果x<minx[rt]（minx[rt]為區間次小值），那么之間將最小值改成x，之后再改需要改的信息就好了...但是，如果x>=minx[rt]，那么就遞歸處理子樹信息。

什么？你說它的時間復雜度？每次修改均攤O(nlogn)

什么時候修改是O(n)呢，就是所有點的狀態大概接近於1，2，1，2，1，2，1，2，1，2...之后對3取max，這種情況下單次修改是O(n)的，但是修改完這次之后，不論下一次修改是什么，都是O(1)的，並且，求和不會超過O(nlogn)

其實本質上，什么拖累了時間復雜度呢？就是當區間中不同的元素特別多的時候，單次修改的時間復雜度會較為高昂，但是假設，我們修改了A個元素，那么就相當於區間的集合中少了A-1個元素，並且我們知道這次修改最大是Alogn的，那么下一次修改就相當於少了A-1個不同元素，也就是說，假設沒有這次修改，下一次修改B個元素的話，那么有了這次修改下一次就相當於修改了B-A+1個元素，那么我們考慮將所有的修改操作的時間復雜度求和，接近於O(nlogn)，但是，這並不完全，因為每次修改可能會導致某些區間的元素個數增加。那么我們考慮會增加多少呢？因為所有修改的元素都修改成了一個值，那么就相當於有些區間的元素的個數多了1。那么修改的時間復雜度就是期望上(Qlogn+nlogn)，但是其實並不會跑滿，而且實際效率很快。

那么線段樹的題嘛，考慮加上區間修改等操作的時間復雜度。因為每次區間覆蓋的話，非常棒，取消了許多節點的獨立性，時間復雜度完全沒有問題！但是區間加的話假如一個區間的是1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6之后針對前6個區間加6，那么相當於增加了一倍的獨立點個數，但是反過來考慮，構成1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6需要這種特殊構造，而特殊構造耗費的操作數量是接近n級別的，那么其實反過來考慮一下，時間復雜度沒有任何問題，因為，其實我們考慮，只有區間修改的時間復雜度，是logn，那么為什么是O(logn)的原因是因為打了lazy標記，那么其實我們假裝這里打了一個lazy標記，那么其實每次修改的節點只有log級別的，那么其實A也只增加了log級別的存在，而每次PushDown增加的也只是logn*Alogn其實也就是Alognlogn的時間復雜度。這非常正確，請不要反駁我。

那么我們考慮完時間復雜度了，是不是該講題了？

並不是，因為例題沒有那么多...

那么我們先舉一個例子

給定一個長度為n的數列A，接下來有m次操作：

• 區間[l,r]中的所有數變成min(Ai,x)

• 詢問區間[l,r]中所有數的和

• n,m≤50000 分塊！（抱歉，我不會！）

• n,m ≤ 500000

裸題，按照上述要求維護一下就可以了，如果想寫的話，可以聯系我，我這里有我自己出的數據...

給定一個長度為n的數列A，接下來有m次操作：

• 區間[l,r]中的所有數變成min(Ai,x)

• 區間[l,r]中的所有數加上x（x可能是負數）

• 詢問區間[l,r]中所有數的和

• n,m≤50000  分塊！

• n,m ≤ 500000

同樣是裸題，多了一個操作，HDU上有...題目鏈接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5306

剩下的就是例題時間了！

BZOJ4355: Play with sequence

這個是不是有一點感覺了呢？

分析：其實還是區間操作裸題，我們對於操作1，之間區間覆蓋，對於操作2先區間加，再區間取max...其實並不是很難對不對？對於操作3，之間輸出1-n的最小值個數（如果最小值是0的話）

附上代碼：

#include <queue>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 300505
#define ls rt<<1
#define rs rt<<1|1
#define ll long long
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
ll minn[N<<2],minx[N<<2],cn[N<<2],cov[N<<2],add[N<<2];int n,Q;
void PushUp(int rt)
{
	if(minn[ls]<minn[rs])minn[rt]=minn[ls],minx[rt]=min(minn[rs],minx[ls]),cn[rt]=cn[ls];
	else if(minn[ls]==minn[rs])minn[rt]=minn[ls],minx[rt]=min(minx[rs],minx[ls]),cn[rt]=cn[ls]+cn[rs];
	else minn[rt]=minn[rs],minx[rt]=min(minn[ls],minx[rs]),cn[rt]=cn[rs];
}
void PushDown(int m,int rt)
{
	if(cov[rt]!=-1)minn[rs]=minn[ls]=cov[ls]=cov[rs]=cov[rt],cn[ls]=(m-(m>>1)),cn[rs]=(m>>1),minx[ls]=minx[rs]=1ll<<62,add[ls]=add[rs]=0,cov[rt]=-1;
	if(add[rt])minn[ls]+=add[rt],minn[rs]+=add[rt],minx[ls]+=add[rt],minx[rs]+=add[rt],add[ls]+=add[rt],add[rs]+=add[rt],add[rt]=0;
	if(minn[rt]>minn[ls])minn[ls]=minn[rt];if(minn[rt]>minn[rs])minn[rs]=minn[rt];
}
void build(int l,int r,int rt)
{
	cov[rt]=-1,add[rt]=0;
	if(l==r){scanf("%lld",&minn[rt]),minx[rt]=1ll<<62,cn[rt]=1;return;}
	int m=(l+r)>>1;build(lson);build(rson);PushUp(rt);
}
void Update_cov(int L,int R,ll c,int l,int r,int rt)
{
	if(L<=l&&r<=R){minn[rt]=cov[rt]=c,minx[rt]=1ll<<62,cn[rt]=r-l+1,add[rt]=0;return;}PushDown(r-l+1,rt);int m=(l+r)>>1;
	if(L<=m)Update_cov(L,R,c,lson);if(m<R)Update_cov(L,R,c,rson);PushUp(rt);
}
void Update_add(int L,int R,ll c,int l,int r,int rt)
{
	if(L<=l&&r<=R){minn[rt]+=c,add[rt]+=c,minx[rt]+=c;return;}PushDown(r-l+1,rt);int m=(l+r)>>1;
	if(L<=m)Update_add(L,R,c,lson);if(m<R)Update_add(L,R,c,rson);PushUp(rt);
}
void Update_max(int L,int R,ll c,int l,int r,int rt)
{
	if(c<=minn[rt])return ;
	if(L<=l&&r<=R&&minx[rt]>c){minn[rt]=c;return ;}PushDown(r-l+1,rt);int m=(l+r)>>1;
	if(L<=m)Update_max(L,R,c,lson);if(m<R)Update_max(L,R,c,rson);PushUp(rt);
}
ll query(int L,int R,int l,int r,int rt)
{
	if(L<=l&&r<=R)return minn[rt]?0:cn[rt];PushDown(r-l+1,rt);int m=(l+r)>>1;ll ret=0;
	if(L<=m)ret+=query(L,R,lson);if(m<R)ret+=query(L,R,rson);return ret;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&Q);
	build(1,n,1);
	while(Q--)
	{
		int x,y,op;ll z;scanf("%d%d%d",&op,&x,&y);
		if(op==1)scanf("%lld",&z),Update_cov(x,y,z,1,n,1);
		else if(op==2)scanf("%lld",&z),Update_add(x,y,z,1,n,1),Update_max(x,y,0ll,1,n,1);
		else printf("%lld\n",query(x,y,1,n,1));
	}
	return 0;
}

　　好吧好吧...其實例題目前只有一道...目測還有最假女選手什么的...好麻煩的說...