多種方法求解區間最值問題
湖南省衡陽市第八中學 鄒毅
著名計算機學家曾提出：程序=算法+數據結構，這句話被廣大程序員們奉為圭臬。我是這樣理解這句話的：如果說算法是指導我們用什么樣的方法與步驟來解決一個問題，則在問題中不可避免的要處理各種數據信息，如何來組織這些數據信息，就依賴於數據結構了，是將這些數據組織成線性的，還是樹型的，則見仁見智、不一而足了。
例如下面這個問題：
給定M及一列數，每個數在0到100,000之間。（為了方便描述，設共N個數,1< N < = 2500000） 輸出每M個數中的最大數，即1~M中的最大數，2~M+1中的最大數……N-M+1~N中的最大數，共N-M+1個。
輸入
第一行是一個數M，接下來是N個數，每個數一行，以-1作為結尾.
輸出
輸出N-M+1個最大數，每個數一行。
樣例輸入
3
10
11
10
0
0
0
1
2
3
2
-1
樣例輸出
11
11
10
0
1
2
3
3
這個題意非常簡單，就是求一個固定長度區間內的最大值。如果我們不加任何思考的話，可以將讀入的數據放到一個線性表f數組中，然后枚舉開始點i，遍歷求出區間[i,i+m-1]中最大值，於是時間復雜度為O(n*m)，程序代碼如下：
for (int i=1;i<=n-m+1;i++)
{
ans=f[i];
for (int j=i+1;j<=i+m-1;j++)
if (f[j]>ans)
ans=f[j];
cout<<ans<<endl;
}
對於題中的信息，有兩個要素即位置和權值。上面這個做法優先考慮了位置關系，即先固定好要考察的區間[i,i+m-1],然后再來解決求最大值的問題。如果我們變換下思維方式，優先考慮最大值，再來解決區間這個約束條件，會發現這個問題中最核心的需求就是不斷的求最大值，而堆是解決這一類需要的一個利器。於是我們可以將數據組織成樹型結構，即將讀入的數值設計成一個大根堆，即堆頂元素就是全局最大值，並記下每個數值對應的在輸入時的位置，由於本題是求一個指定區間的最大值，於是我們還需要對堆頂元素進行判斷一下它是否位於指定區間，如果在的話，則直接輸出堆頂元素的值，否則踢掉堆頂元素。程序代碼如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=6e5+5;
struct num
{
int w,v;
bool operator <(const num x)const
{
return (v<x.v)||(v==x.v&&w<x.w);
}
} p;
priority_queue<num>q;
int n,k,top,a[N],ans[N];
int main() {
int x,k;
cin>>k;
while(~scanf("%d",&x)&&x!=-1)
a[++n]=x;
for(int i=1; i<=k; i++)
{
p.w=i,p.v=a[i];
q.push(p);
}
top=1;
ans[top]=q.top().v;
for(int i=k+1; i<=n; i++)
{
p.w=i,p.v=a[i];
q.push(p);
while(i-q.top().w>=k)
q.pop();
ans[++top]=q.top().v;
}
for(int i=1; i<=top; i++)
printf("%d\n",ans[i]);
}
進一步反思上面這個做法，會發現存在大量的數據冗余------存在大量明顯無用的數據在堆里面。而在求出一個區間[i,i+m-1]的結果后，接下來我們要求[i+1,i+m]這個區間的結果，這兩個區間比較一下就會發現，無非將第i個位置上的數值去掉，加入第i+m個位置上的值。此時的結果有兩種可能，要么仍是從前區間[i,i+m-1]結果，要么是新加入的元素。於是我們又回到線性數據結構，用代表第個數對應的答案，表示第個數，於是維護這樣一個隊列：隊列中的每個元素有兩個域{position,value}，分別代表他在原隊列中的位置和，我們隨時保持這個隊列中的元素position域單調遞增,value域單調遞減,。則在計算的時候，先將加入到隊列中，如何加入隊列呢？我們讓a[i]與隊尾元素的 value域進行比較，但凡發現小於a[i]的，一律從隊列中踢掉，為什么要踢掉呢？那是因為由於是隨着單調遞增的，所以對於，在計算任意一個狀態的時候，都不會比優，所以j被踢掉是有理有據的，並且通過這樣的“踢數據”的操作，我們有效的降低了需要維護的數據的量，對比堆的操作中，這些無效的數據仍放在堆中，在加數據的操作時，無疑增加了操作的次數。於是采用這種方法，每個數據進出隊列都只有一次，所以時間復雜度為O(n),而堆的時間復雜度為O(n*log2n)。接下來我們還要在隊首不斷刪除，直到隊首的position大於等於，那此時隊首的value必定是的不二人選，因為隊列是單調的！程序代碼如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,d,num,f[2500001],a[2500001],b[2500001];
int main()
{
num=0;
scanf("%d",&n);
while(true)
{
scanf("%d",&d);
if(d==-1)
break;
num++;
a[num]=d;
}
int head=1,tail=1,now=1;
f[1]=a[1]; //存放值域
b[1]=1; //存放位置
for (int now=2;now<=num;now++)
{
while(tail>=head&&a[now]>f[tail])
//維護一個值域單調不上升的隊列
tail--;
tail++;
f[tail]=a[now];
b[tail]=now;
if(now-b[head]>=n)
//控制隊列頭的位置域在所要求的范圍之內
head++;
if(now>=n)
printf("%d\n",f[head]);
}
}
此外本題還可以使用st表，線段樹等數據結構來進行維護，介於篇幅原因，不再贅述，列表如下：
| 數據結構 |
空間復雜度 |
時間復雜度 |
編碼難度 |
| 堆 |
O(n) |
O(n*log2n) |
簡單 |
| 單調隊列 |
O(n) |
O(n) |
簡單 |
| 線段樹 |
O(4*n) |
O(n*log2n) |
中等 |
| St表 |
O(n*log2n) |
O(n*log2 m) |
中等 |
綜上所述，有兩點心得體會，首先對於給定的信息，往往會有多個屬性，當我們選擇的主攻方向,如果實際效果並不好時，就要變換思考的方式了，這個現象是在編程學習中經常遇到的。其次數據結構與算法如同習武之人的內功與外功，兩者相輔相成，我們在針對某個問題設計程序時，當發現在算法上沒有好的方法時，就想想如何從數據結構上進行突破，反之亦然，而當有多種數據結構可供選擇時，則需要細細體會它們之間的優劣，例如此題用線段樹也可以完成，然而線段樹的常數較大，並且編碼相對來說要復雜一些，所以並不推薦，但如果本題進行改編，變成即有詢問操作，又有數值的更改操作時，線段樹就能發揮其特長了，所以每種數據結構都有其適用的場景，關鍵是我們在了解其來龍去源的前提下，活學活用。
本文涉及的相關試題及數據如下：
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