基爾霍夫矩陣

定義：如果圖D有總共N個點，那么圖D的基爾霍夫矩陣D可以表示為：
1 $ D_{ij} = degree(i) $degree:圖的讀書
2 $ D_{i,j} = −cnt(i, j)$cnt ：兩點之間的邊數

性質

引理 : |D| = 0 證：性質：每一行的和 = 0，那么根據行列式恆等變換，全部加到第一列，就是0
引理 : 如果圖G不連通，任意余子式\(|M_{ii}| = 0\)
引理：如果圖G是一棵樹，那么任意余子式\(|M_{ii}| = 1\)。
引理：如果圖G是一棵樹，那么給矩陣\(|M_{11}|\)加上1之后，余子式\(M_{11} = 1\)。
對於后兩條的證明：若我們節點數小n的樹都滿足
用數學歸納法，遞歸下去，消掉一個根節點后\(M_{11}\)子樹的根節點度數都要+1，最后對角線全部加+1，根據行列式恆等變換就可以拆除一個單位矩陣，和一個值為0的圖矩陣

矩陣樹定理

一張圖的生成樹個數就是，任意一主余子式的值
例子：求下面4點完全的生成樹個數

那么得到結論，完全圖的生成樹個數為點數n的n-2次方
那么問題來了，如何計算行列式的值呢

計算行列式的值

根據性質：行列式的恆等變換
把行列式消成上三角行列式
然后，你就會發現對行列式的值貢獻的有且只有對角線的乘積...
復雜度\(O(n^3)\)