manacher算法求最長回文子序列

一：背景

給定一個字符串，求出其最長回文子串。例如：

1. 1. s="abcd"，最長回文長度為 1；
   2. s="ababa"，最長回文長度為 5；
   3. s="abccb"，最長回文長度為 4，即bccb。

以上問題的傳統思路大概是，遍歷每一個字符，以該字符為中心向兩邊查找。其時間復雜度為O(n^2)，效率很差。

1975年，一個叫Manacher的人發明了一個算法，Manacher算法（中文名：馬拉車算法），該算法可以把時間復雜度提升到O(n)。下面來看看馬拉車算法是如何工作的。

 

二：算法過程分析

由於回文分為偶回文（比如 bccb）和奇回文（比如 bcacb），而在處理奇偶問題上會比較繁瑣，所以這里我們使用一個技巧，具體做法是：在字符串首尾，及各字符間各插入一個字符（前提這個字符未出現在串里）。

舉個例子：s="abbahopxpo"，轉換為s_new="$#a#b#b#a#h#o#p#x#p#o#"（這里的字符 $ 只是為了防止越界，下面代碼會有說明），如此，s 里起初有一個偶回文abba和一個奇回文opxpo，被轉換為#a#b#b#a#和#o#p#x#p#o#，長度都轉換成了奇數。

定義一個輔助數組int p[]，其中p[i]表示以 i 為中心的最長回文的半徑，例如：

 

 

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
s_new[i]	$	#	a	#	b	#	b	#	a	#	h	#	o	#	p	#	x	#	p	#
p[i]		1	2	1	2	5	2	1	2	1	2	1	2	1	2	1	4	1	2	1

 

可以看出，p[i] - 1正好是原字符串中最長回文串的長度。

接下來的重點就是求解 p 數組，如下圖：

設置兩個變量，mx 和 id 。mx 代表以 id 為中心的最長回文的右邊界，也就是mx = id + p[id]。

假設我們現在求p[i]，也就是以 i 為中心的最長回文半徑，如果i < mx，如上圖，那么：

if (i < mx)  
    p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);

2 * id - i為 i 關於 id 的對稱點，即上圖的 j 點，而p[j]表示以 j 為中心的最長回文半徑，因此我們可以利用p[j]來加快查找。

 

三：代碼

//指定位置判斷回文，此題為指定包含最后一個的最長回文序列。
char ma[maxn*2], s[maxn];
int  mp[maxn*2];
int ans,Mlen;
void Manacher(char s[],int len)
{
    int l=0;
    ma[l++]='$';
    ma[l++]='#';
    for(int i=0; i<len; i++)
    {
        ma[l++]=s[i];
        ma[l++]='#';
    }
    ma[l]=0;
    int mx=0,id=0;
    for(int i=0; i<l; i++)
    {
        mp[i]=mx>i?min(mp[2*id-i],mx-i):1;
        while(ma[i+mp[i]]==ma[i-mp[i]])
            mp[i]++;
        if(i+mp[i]>mx)
        {
            mx=i+mp[i];
            id=i;
        }
// 這里可以check(ma[i])        
ans=max(ans,mp[i]-1);
        if(mp[i]-1+i==l-1)
            Mlen=max(Mlen,mp[i]-1);
    }
}

int main()
{
    int T;
    cin>>T;
    int kcase = 1;
    while(T--)
    {
        memset(ma,0,sizeof(ma));
        memset(mp,0,sizeof(mp));
        cin>>s;
        int len=strlen(s);
        ans=0;
        Mlen=0;
        Manacher(s,len);
        if(ans == len)
            printf("Case %d: %d\n", kcase++, ans);
        else
            printf("Case %d: %d\n", kcase++, len - Mlen + len);
    }
}

 

 

四：題目

這個題目就是在原來的基礎上添加了一個判斷條件，看清楚在哪里添加。

//101350I - 2017 ACM Arabella Collegiate Programming Contest - Mirrored String II 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1010;
char ma[maxn*2];
int  mp[maxn*2];
char s[maxn];
int check(char zzz)
{
    if(zzz=='A'||zzz=='H'||zzz=='I'||zzz=='M'||zzz=='O'||zzz=='#'||
            zzz=='T'||zzz=='U'||zzz=='V'||zzz=='W'||zzz=='X'||zzz=='Y')
        return 1;
    return 0;
}

void Manacher(char s[],int len)
{
    int l=0;
    ma[l++]='$';
    ma[l++]='#';
    for(int i=0; i<len; i++)
    {
        ma[l++]=s[i];
        ma[l++]='#';
    }
    ma[l]=0;
    int mx=0,id=0;
    for(int i=0; i<l; i++)
    {
        mp[i]=mx>i?min(mp[2*id-i],mx-i):1;
        while(check(ma[i+mp[i]])&&ma[i+mp[i]]==ma[i-mp[i]])//在這里添加check
        {
            mp[i]++;
        }
        if(i+mp[i]>mx)
        {
            mx=i+mp[i];
            id=i;
        }
    }
}

int main()
{
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>s;
        int len=strlen(s);
        Manacher(s,len);
        int ans=0;
        for(int i=0; i<len*2+2; i++)
            if(check(ma[i]))//這里添加check
                ans=max(ans,mp[i]-1);
        cout<<ans<<endl;
    }
}