最長回文子串—Manacher 算法 及 python實現

最長回文子串問題：給定一個字符串，求它的最長回文子串長度。如果一個字符串正着讀和反着讀是一樣的，那它就是回文串。

 

給定一個字符串，求它最長的回文子串長度，例如輸入字符串'35534321'，它的最長回文子串是'3553'，所以返回 4。

最容易想到的辦法是枚舉出所有的子串，然后一一判斷是否為回文串，返回最長的回文子串長度。不用我說，枚舉實現的耗時是我們無法忍受的。那么有沒有高效查找回文子串的方法呢？答案當然是肯定的，那就是中心擴展法，選擇一個元素作為中心，然后向外發散的尋找以該元素為圓心的最大回文子串。但是又出現了新的問題，回文子串的長度即可能是奇數，也可能好是偶數，對於長度為偶數的回文子串來說是不存在中心元素的。那是否有一種辦法能將奇偶長度的子串歸為一類，統一使用中心擴展法呢？它就是 manacher 算法，在原字符串中插入特殊字符，例如插入 #后原字符串變成'#3#5#5#3#4#3#2#1#'。現在我們對新字符串使用中心擴展發即可，中心擴展法得到的半徑就是子串的長度。

現在實現思路已經明確了，先轉化字符串'35534321'  ---->  '#3#5#5#3#4#3#2#1#'，然后求出以每個元素為中心的最長回文子串的長度。以下給出 python 實現:

#!/usr/bin/python
# -*- coding: utf-8 -*-

def max_substr(string):
  s_list = [s for s in string]
  string = '#' + '#'.join(s_list) + '#'
  max_length = 0
  length = len(string)
  for index in range(0, length):
    r_length = get_length(string, index)
    if max_length < r_length:
      max_length = r_length
  return max_length

def get_length(string, index):
  # 循環求出index為中心的最長回文字串
  length = 0
  r_ = len(string)
  for i in range(1,index+1):
    if index+i < r_ and string[index-i] == string[index+i]:
      length += 1
    else:
      break
  return length

if __name__ == "__main__":
  result = max_substr("35534321")
  print result

功能已經實現了，經過測試也沒有 bug，但是我們靜下心來想一想，目前的解法是否還有優化空間呢？根據目前的解法，我們求出了‘35534321‘中每個元素中心的最大回文子串。當遍歷到'4'時，我們已經知道目前最長的回文子串的長度 max_length 是 4，這是我們求出了以 4 為中心的最長回文子串長度是 3，它比 max_length 要小，所以我們不更新 max_length。換句話說，我們計算以 4 為中心的最長回文字串長度是做了無用功。這就是我們要優化的地方，既然某個元素的最長的回文子串長度並沒有超過 max_length，我們就沒有必要計算它的最長回文子串，在遍歷一個新的元素時，我們要優先判斷以它為中心的回文子串的長度是否能超越 max_length，如果不能超過，就繼續遍歷下一個元素。以下是優化后的實現：

#!/usr/bin/python
# -*- coding: utf-8 -*-

def max_substr(string):
  s_list = [s for s in string]
  string = '#' + '#'.join(s_list) + '#'
  max_length = 0
  length = len(string)
  for index in range(0, length):
    r_length = get_length2(string, index, max_length)
    if max_length < r_length:
      max_length = r_length
  return max_length

def get_length2(string, index, max_length):
  # 基於已知的最長字串求最長字串
  # 1.中心+最大半徑超出字符串范圍, return
  r_ = len(string)
  if index + max_length > r_:
    return max_length

  # 2.無法超越最大半徑, return
  l_string = string[index - max_length + 1 : index + 1]
  r_string = string[index : index + max_length]
  if l_string != r_string[::-1]:
    return max_length

  # 3.計算新的最大半徑
  result = max_length
  for i in range(max_length, r_):
    if index-i >= 0 and index+i < r_ and string[index-i] == string[index+i]:
      result += 1
    else:
      break
  return result - 1

if __name__ == "__main__":
  result = max_substr("35534321")
  print result