題目
leetcode：5. Longest Palindromic Substring
解法
動態規划
時間復雜度\(O(n^2)\)，空間復雜度\(O(n^2)\)
基本解法直接看代碼
class Solution {
public:
string longestPalindrome(string s) {
int n = s.size();
vector<vector<bool>> dp(n, vector<bool>(n, true));
int rx, ry;
rx = ry = 0;
for(int l = 1; l < n; l++){
for(int i = 0; i < n - l; i++){
int j = i + l;
if(s[i] == s[j] && (j - i < 3 || dp[i+1][j-1])){
dp[i][j] = true;
if(j - i > ry - rx){
ry = j;
rx = i;
}
} else {
dp[i][j] = false;
}
}
}
return s.substr(rx, ry - rx + 1);
}
};
中心擴散法
時間復雜度\(O(n^2)\)，空間復雜度\(O(1)\)
我們先假定以某點為中心向兩端擴散，找到以該點為中心的最長回文子串
class Solution {
public:
int rx, ry;
void helper(string &s, int i, int offset){
int left = i;
int right = i + offset;
while(left >= 0 && right < s.size() && s[left] == s[right]){
left--;
right++;
}
if(right - 1 - (left + 1) > ry - rx){
ry = right - 1;
rx = left + 1;
}
}
string longestPalindrome(string s) {
int n = s.size();
rx = ry = 0;
for(int i = 0; i < n; i++){
helper(s, i, 0);
helper(s, i, 1);
}
return s.substr(rx, ry - rx + 1);
}
};
Manacher算法
Manacher算法俗稱“馬拉車算法”，時間復雜度\(O(n)\)，空間復雜度\(O(n)\)
因為回文字符串都有奇數長度的串和偶數長度的串，為了更好處理這兩種情況，可以在字符串中插入一特殊字符'#'，使得新字符串長度全變為奇數長度，如"aa"變為"#a#a#"，可以再字符串首部加入另一特殊字符'$'和尾部的'@'，這樣就不用特殊處理越界問題（統一邊界處理）
以"122112321"為例經過上一步變成"@#1#2#2#1#1#2#3#2#1#"
Manacher算法使用一個輔助數組r[i]表示以t[i]為中心的最長回文子串的最右字符到t[i]的長度，如以t[i]為中心的最長回文子串為t[low, high]，則r[i] = high - i + 1, t[low, high] = 2 * r[i]-1, len數組有一個性質，就是r[i]-1為該回文子串在原串中的長度，證明很簡單t[lowl, high]一定是以"#"開頭和結尾的，這樣插入的"#"是原來串中字符的兩倍還多一個，這樣原串中最長回文串的長度就為r[i]-1,這樣問題就轉為求最長的r[i]
計算len數組
算法主要利用了已有的回文子串的特點，減少了查找時間，從左往右計算len[i]，同時保存一個之前計算最長回文子串的右端點的最大值R及對應的中心位置c，
- i < R, 則先找i關於c對稱點j=2*c-i,則至少r[i] \(\geq\) min(R - i + 1, p[j]), 超出部分再手工匹配
- i >= R, 則不能利用以后的知識做任何假設，只能假定其至少為1,再手工匹配
class Solution {
public:
string longestPalindrome(string s) {
int n = s.size();
if(n == 0) return "";
string ns;
ns.push_back('$');
for(int i = 0; i < n; i++){
ns.push_back('#');
ns.push_back(s[i]);
}
ns.push_back('#');
ns.push_back('@');
n = ns.size();
vector<int> r(n);
int c, R, C, MAX;
R = -1;
MAX = 0;
C = 0;
for(int i = 1; i < n; i++){
r[i] = i < R ? min(r[2 * c - i], R - i + 1) : 1;
while(ns[i + r[i]] == ns[i - r[i]]) r[i]++;
r[i]--;
if(i + r[i] > R){
R = i + r[i];
c = i;
}
if(r[i] > MAX){
MAX = r[i];
C = i;
}
}
return s.substr((C-MAX)/2, r[C]);
}
};