O(n)回文子串（Manacher）算法

資料來源網絡 參見：http://www.felix021.com/blog/read.php?2040

問題描述：

輸入一個字符串，求出其中最大的回文子串。子串的含義是：在原串中連續出現的字符串片段。回文的含義是：正着看和倒着看相同，如abba和yyxyy。

 

解析：

這里介紹O(n)回文子串（Manacher）算法

算法基本要點：首先用一個非常巧妙的方式，將所有可能的奇數/偶數長度的回文子串都轉換成了奇數長度：在每個字符的兩邊都插入一個特殊的符號。比如 abba 變成 #a#b#b#a#， aba變成 #a#b#a#。 為了進一步減少編碼的復雜度，可以在字符串的開始加入另一個特殊字符，這樣就不用特殊處理越界問題，比如$#a#b#a#。

下面以字符串12212321為例，經過上一步，變成了 S[] = "$#1#2#2#1#2#3#2#1#";

然后用一個數組 P[i] 來記錄以字符S[i]為中心的最長回文子串向左/右擴張的長度（包括S[i]），比如S和P的對應關系：

S     #  1  #  2  #  2  #  1  #  2  #  3  #  2  #  1  #
P     1   2  1  2  5   2  1  4   1  2  1  6   1  2   1  2  1
(p.s. 可以看出，P[i]-1正好是原字符串中回文串的總長度）

下面計算P[i]，該算法增加兩個輔助變量id和mx，其中id表示最大回文子串中心的位置，mx則為id+P[id]，也就是最大回文子串的邊界。

這個算法的關鍵點就在這里了：如果mx > i，那么P[i] >= MIN(P[2 * id - i], mx - i)。

具體代碼如下：

if(mx > i)
{
      p[i] = (p[2*id - i] < (mx - i) ? p[2*id - i] : (mx - i));
}
else
{
       p[i] = 1;
}

當 mx - i > P[j] 的時候，以S[j]為中心的回文子串包含在以S[id]為中心的回文子串中，由於 i 和 j 對稱，以S[i]為中心的回文子串必然包含在以S[id]為中心的回文子串中，所以必有 P[i] = P[j]，見下圖。

當 P[j] > mx - i 的時候，以S[j]為中心的回文子串不完全包含於以S[id]為中心的回文子串中，但是基於對稱性可知，下圖中兩個綠框所包圍的部分是相同的，也就是說以S[i]為中心的回文子串，其向右至少會擴張到mx的位置，也就是說 P[i] >= mx - i。至於mx之后的部分是否對稱，就只能一個一個匹配了。

對於 mx <= i 的情況，無法對 P[i]做更多的假設，只能P[i] = 1，然后再去匹配了

下面給出原文，進一步解釋算法為線性的原因

 

源代碼：

#include <iostream>
#include <string>
#include <cstring>

using namespace std;

void findBMstr(string& str)
{
    int *p = new int[str.size() + 1];
    memset(p, 0, sizeof(p));

    int mx = 0, id = 0;
    for(int i = 1; i <=  str.size(); i++)
    {
        if(mx > i)
        {
            p[i] = (p[2*id - i] < (mx - i) ? p[2*id - i] : (mx - i));
        }
        else
        {
            p[i] = 1;
        }

        while(str[i - p[i]] == str[i + p[i]])
            p[i]++;

        if(i + p[i] > mx)
        {
            mx = i + p[i];
            id = i;
        }

    }
    int max = 0, ii;
    for(int i = 1; i < str.size(); i++)
    {
        if(p[i] > max)
        {
            ii = i;
            max = p[i];
        }
    }

    max--;

    int start = ii - max ;
    int end = ii + max;
    for(int i = start; i <= end; i++)
    {
        if(str[i] != '#')
        {
            cout << str[i];
        }
    }
    cout << endl;

    delete  p;
}

int main()
{
    string str = "12212321";
    string str0;
    str0 += "$#";
    for(int i = 0; i < str.size(); i++)
    {
        str0 += str[i];
        str0 += "#";
    }

    cout << str0 << endl;
    findBMstr(str0);
    return 0;
}

執行結果：