Manacher（馬拉車）————O(n)回文子串

Manacher

一、背景

1975年，Manacher發明了Manacher算法（中文名：馬拉車算法），是一個可以在O(n)的復雜度中返回字符串s中最長回文子串長度的算法，十分巧妙。

讓我們舉個栗子，栗子：

1.字符串：abbababa        最長回文子串：5（abbababa）

2.字符串：abcbbabbc      最長回文子串：7（abcbbabbc）

3.字符串：abccbaba        最長回文子串：6（abccbaba）

傳統方法是，遍歷每個字符，以該字符為中心向兩邊查找。時間復雜度為O(n^2)，效率很差；

而這個神奇的Manacher算法將復雜度提升到了O(n)。

 

來一起瞅一瞅它是如何工作的吧。

二、算法過程分析

回文分為奇回文（ababa）和偶回文（abba），這里比較難以處理，我們使用一個小(sao)技(cao)巧(zuo)（很重要）。我們將字符串首尾和每個字符間插入一個字符（注意：這個自符在串中並未出現）例如：'#'.

栗子！栗子！s='abbadcacda'先轉化成s_new='$#a#b#b#a#d#c#a#c#d#a#\0'（'$'與'\0'，是邊界，下面的代碼中可以看到）

這樣原串中的偶回文（abba）與奇回文（adcacda），變成了（#a#d#d#a#）與（#a#d#c#a#c#d#a#）兩個奇回文。

定義數組p[]，用p[i]表示以i為中心的最長回文半徑。栗子在這里：

 

那，p[i]該如何求呢？很顯然，p[i]-1正好就是原字符中的最長回文串長度了。

讓我們一起找到正解。

請看下圖：

定義兩個變量mx和id。mx就是以id為中心的最長回文右邊界，也就是mx=id+p[id]，隨后我們需要mx做出它的最大貢獻。

假設我們在求p[i]（以i為中心的最長回文半徑），如果i<mx（如上圖），那么我們就用mx和j來更新到我們已知的可以更新的最大長度，代碼如下：

if(i<mx)  
    p[i]=min(p[2*id-i],mx-i);

2*id-i是i關於id的對稱點（上圖j）（證明：i-id=id-j），而p[j]表示以j為中心的最長回文半徑，這樣我們就可以利用p[j]和mx加快速度了。

為什么要用p[j]和mx-i取min來更新，什么鬼？

淡定，淡定。我們想一下，p[j]（以j為中心的最長回文半徑）是已經知道了（因為是從前面掃過來的），若是p[j]>mx-i，我們是可以知道以j為中心，以mx的對稱點到j的距離為半徑形成的回文字符串是肯定存在的，並且id的左邊直到mx的對稱點與id的右邊 直到mx是一一對應的，不難理解mx是i目前可以更新到的最大回文半徑；若p[j]<mx-i，證明j的回文半徑不到mx的對稱點到j的距離，再次通過（id的左邊直到mx的對稱點與id的右邊 直到mx是一一對應的），不難想到p[i]=p[j]。

 取完min就是最大的回文半徑嗎？

顯然不是，接下來的暴力往后掃就好了（學oi的都有暴力傾向）。

三、代碼

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

char s[11000002];
char s_new[21000002];//存添加字符后的字符串 
int p[21000002];

int Init() {//形成新的字符串 
    int len=strlen(s);//len是輸入字符串的長度
    s_new[0]='$';//處理邊界，防止越界 
    s_new[1]='#';
    int j=2; 
    for(int i=0;i<len;i++) {
        s_new[j++]=s[i];
        s_new[j++]='#';
    } 
    s_new[j]='\0';//處理邊界，防止越界（容易忘記） 
    return j;// 返回s_new的長度 
}

int Manacher() {//返回最長回文串 
    int len=Init();//取得新字符串的長度， 完成向s_new的轉換
    int max_len=-1;//最長回文長度
    int id;
    int mx=0;
    for(int i=1;i<=len;i++) {
        if(i<mx)
            p[i]=min(p[2*id-i],mx-i);//上面圖片就是這里的講解 
        else p[i]=1;
        while(s_new[i-p[i]]==s_new[i+p[i]])//不需邊界判斷，因為左有'$'，右有'\0'標記；
            p[i]++;//mx對此回文中點的貢獻已經結束，現在是正常尋找擴大半徑
        if(mx<i+p[i]) {//每走移動一個回文中點，都要和mx比較，使mx是最大，提高p[i]=min(p[2*id-i],mx-i)效率 
            id=i;//更新id 
            mx=i+p[i];//更新mx 
        }
        max_len=max(max_len,p[i]-1); 
    } 
    return max_len; 
}
 
int main()
{
    scanf("%s",&s);
    printf("%d",Manacher());
    return 0;
}

 四、復雜度

 

完結撒花（復雜度不會證明呀，因為我是蒟蒻）