最長回文子串

1. 問題描述

回文串（palindromic string）是指這個字符串無論從左讀還是從右讀，所讀的順序是一樣的；簡而言之，回文串是左右對稱的。所謂最長回文子串問題，是指對於一個給定的母串

abcdedcb

從所有的為回文串的子串a, ded, cdedc, bcdecdb中；找出最長的那一個bcdecdb。但是該如何判斷子串是否回文然后找出最長者呢？正好Leetcode也有一個5. longest-palindromic-substring問題，可以用來做代碼測試。

2. 求解

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2016.12.28更新

將原來的C代碼替換為Go 1.7，修復了評論中所指出的動態規划bug。

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窮舉法

最容易想到的是窮舉法，窮舉所有子串，找出是回文串的子串，統計出最長的那一個。

// check whether a string is palindromic
func isPalindromic(s string) bool {
	mid := len(s) / 2
	last := len(s) - 1
	for i := 0; i < mid; i++ {
		if s[i] != s[last - i] {
			return false
		}
	}
	return true
}

// longest palindromic substring
func longestPalindrome(s string) string {
	last := len(s) - 1
	longest := string(s[0])
	for i := 0; i < last; i++ {
		for j := i + 1; j <= last; j++ {
			if isPalindromic(s[i:j + 1]) && j + 1 - i > len(longest) {
				longest = s[i:j+1]
			}
		}
	}
	return longest
}

• 時間復雜度：判斷是否為回文串的復雜度為\(O(n)\)，longestPalindrome有雙層for循環，因此總的復雜度為為\(O(n^3)\)。
• 空間復雜度：\(O(1)\)。

動態規划

窮舉法的時間復雜度過高，接下來我們用DP進行優化。對於母串s，我們用\(c[i, j] = 1\)表示子串s[i..j]為回文子串，那么就有遞推式

\[c[i,j] = \left\{ {\matrix{ c[i+1, j-1] & {if \ s[i] = s[j]} \cr 0 & {if \ s[i] \ne s[j]} \cr } } \right. \]

上述遞推式的含義：當\(s[i] = s[j]\)時，如果s[i+1..j-1]是回文子串，則s[i..j]也是回文子串；如果s[i+1..j-1]不是回文子串（或\(s[i] \ne s[j]\)），則s[i..j]也不是。

特別地，對於這樣的字符串——只包含單個字符、或者兩個字符重復，其均為回文串：

• c[i,i] = 1
• c[i,i+1] = 1 if s[i] == s[i+1]

func longestPalindrome(s string) string {
	length := len(s)
	// longest palindromic substring
	longest := string(s[0])
	// 2-D array initialization
	c := make([][]bool, length)
	for i := range c {
		c[i] = make([]bool, length)
	}
	for gap := 0; gap < length; gap++ {
		for i := 0; i < length - gap; i++ {
			j := i + gap
			if s[i] == s[j] && (j - i <= 2 || c[i + 1][j - 1]) {
				c[i][j] = true
				// find the longest
				if j + 1 - i > len(longest) {
					longest = s[i:j + 1]
				}
			}
		}
	}
	return longest
}

• 時間復雜度：對二維狀態數組\(c\)采取“之”字形賦值，增加gap來擴大子串長度；有兩層for循環，故復雜度為\(O(n^2)\).
• 空間復雜度：開銷在狀態數組\(c\)上，為\(O(n^2)\).

分治法

回文串是左右對稱的，如果從中心軸開始遍歷，會減少一層循環。思路：依次以母串的每一個字符為中心軸，得到回文串；然后通過比較得到最長的那一個。注意：要考慮到像baccab這樣的特殊子串，可以理解它的中心軸是cc。

// given a center, find the longest palindromic substring
func l2rHelper(s string, mid int) string {
	l := mid - 1; r := mid + 1
	length := len(s)
	for r < length && s[r] == s[mid] {
		r++
	}
	for l >= 0 && r < length && s[l] == s[r] {
		l--
		r++
	}
	return s[l+1:r]
}

func longestPalindrome(s string) string {
	length := len(s)
	longest := string(s[0])
	for i := 0; i < length -1; i++  {
		if len(l2rHelper(s, i)) > len(longest) {
			longest = l2rHelper(s, i)
		}
	}
	return longest
}

• 時間復雜度：對於給定中心，找出最長回文子串的復雜度為\(O(n)\)；總的復雜度為\(O(n^2)\).
• 空間復雜度：\(O(1)\).

3. 參考資料

[1] programcreek, Leetcode – Longest Palindromic Substring (Java).
[2] GeeksforGeeks, Longest Palindromic Substring | Set 1.