動態規划——最長回文子串

　　最長回文子串的問題描述：

 

　　下面介紹動態規划的方法，使用動態規划可以達到最優的 O(n²) 復雜度。

　　令 dp[i][j] 表示 S[i] 至 S[j] 所表示的子串是否是回文子串，是則為 1，不是則為 0。這樣根據 S[i] 是否等於 S[j] ，可以把轉移情況分為兩類：

1. 1.  若 S[i] == S[j]，那么只要 S[i+1] 至 S[j-1] 是回文子串，S[i] 至 S[j] 就是回文子串；如果S[i+1] 至 S[j-1] 不是回文子串，則 S[i] 至 S[j] 也不是回文子串。
   2.  若 S[i] != S[j]，那么 S[i] 至 S[j] 一定不是回文子串。　　　　

　　由此可以寫出狀態轉移方程：

　　　　　　　　　　$dp[i][j]=\left\{\begin{matrix}dp[i+1][j-1],S[i]==S[j]\\ 0,S[i]!=S[j]\end{matrix}\right.$

　　邊界：dp[i][i]=1，dp[i][i+1] = (S[i] == S[i+1]) ? 1 : 0。

　　根據遞推寫法從邊界出發的原理，注意到邊界表示的是長度為 1 和 2 的子串，且每次轉移時都對子串的長度減了 1，因此不妨考慮按子串的長度和子串的初始位置進行枚舉，即第一遍將長度為 3 的子串的 dp 值全部求出，第二遍通過第一遍結果計算出長度為 4 的子串的 dp 值 ……

　　代碼如下：

/*
    最長回文子串 
*/

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#include <stdbool.h>

#define maxn 1010
char S[maxn];
int dp[maxn][maxn];                 

int main() {
    gets(S);                        // 輸入整行字符 
    int len=strlen(S), ans=1;        // ans 記錄最長回文子串長度 
    int i, j, L;        
    // 邊界 
    for(i=0; i<len; ++i) {            
        dp[i][i] = 1;
        if(i < len-1) {
            if(S[i] == S[i+1]) {
                dp[i][i+1] = 1;
                ans = 2;
            }
        }
    }
    // 狀態轉移方程 
    for(L=3; L<=len; ++L) {            // 枚舉子串長度 
        for(i=0; i+L-1 < len; ++i) {    // 枚舉子串的起始節點 
            j = i+L-1;                // 子串的右端結點 
            if(S[i]==S[j] && dp[i+1][j-1]==1) {
                dp[i][j] = 1;
                ans = L;            // 更新最長回文子串長度 
            }
        }
    }
    printf("%d\n", ans);            // 輸出 

    return 0;
}