最长回文子串

1. 问题描述

回文串（palindromic string）是指这个字符串无论从左读还是从右读，所读的顺序是一样的；简而言之，回文串是左右对称的。所谓最长回文子串问题，是指对于一个给定的母串

abcdedcb

从所有的为回文串的子串a, ded, cdedc, bcdecdb中；找出最长的那一个bcdecdb。但是该如何判断子串是否回文然后找出最长者呢？正好Leetcode也有一个5. longest-palindromic-substring问题，可以用来做代码测试。

2. 求解

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2016.12.28更新

将原来的C代码替换为Go 1.7，修复了评论中所指出的动态规划bug。

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穷举法

最容易想到的是穷举法，穷举所有子串，找出是回文串的子串，统计出最长的那一个。

// check whether a string is palindromic
func isPalindromic(s string) bool {
	mid := len(s) / 2
	last := len(s) - 1
	for i := 0; i < mid; i++ {
		if s[i] != s[last - i] {
			return false
		}
	}
	return true
}

// longest palindromic substring
func longestPalindrome(s string) string {
	last := len(s) - 1
	longest := string(s[0])
	for i := 0; i < last; i++ {
		for j := i + 1; j <= last; j++ {
			if isPalindromic(s[i:j + 1]) && j + 1 - i > len(longest) {
				longest = s[i:j+1]
			}
		}
	}
	return longest
}

• 时间复杂度：判断是否为回文串的复杂度为\(O(n)\)，longestPalindrome有双层for循环，因此总的复杂度为为\(O(n^3)\)。
• 空间复杂度：\(O(1)\)。

动态规划

穷举法的时间复杂度过高，接下来我们用DP进行优化。对于母串s，我们用\(c[i, j] = 1\)表示子串s[i..j]为回文子串，那么就有递推式

\[c[i,j] = \left\{ {\matrix{ c[i+1, j-1] & {if \ s[i] = s[j]} \cr 0 & {if \ s[i] \ne s[j]} \cr } } \right. \]

上述递推式的含义：当\(s[i] = s[j]\)时，如果s[i+1..j-1]是回文子串，则s[i..j]也是回文子串；如果s[i+1..j-1]不是回文子串（或\(s[i] \ne s[j]\)），则s[i..j]也不是。

特别地，对于这样的字符串——只包含单个字符、或者两个字符重复，其均为回文串：

• c[i,i] = 1
• c[i,i+1] = 1 if s[i] == s[i+1]

func longestPalindrome(s string) string {
	length := len(s)
	// longest palindromic substring
	longest := string(s[0])
	// 2-D array initialization
	c := make([][]bool, length)
	for i := range c {
		c[i] = make([]bool, length)
	}
	for gap := 0; gap < length; gap++ {
		for i := 0; i < length - gap; i++ {
			j := i + gap
			if s[i] == s[j] && (j - i <= 2 || c[i + 1][j - 1]) {
				c[i][j] = true
				// find the longest
				if j + 1 - i > len(longest) {
					longest = s[i:j + 1]
				}
			}
		}
	}
	return longest
}

• 时间复杂度：对二维状态数组\(c\)采取“之”字形赋值，增加gap来扩大子串长度；有两层for循环，故复杂度为\(O(n^2)\).
• 空间复杂度：开销在状态数组\(c\)上，为\(O(n^2)\).

分治法

回文串是左右对称的，如果从中心轴开始遍历，会减少一层循环。思路：依次以母串的每一个字符为中心轴，得到回文串；然后通过比较得到最长的那一个。注意：要考虑到像baccab这样的特殊子串，可以理解它的中心轴是cc。

// given a center, find the longest palindromic substring
func l2rHelper(s string, mid int) string {
	l := mid - 1; r := mid + 1
	length := len(s)
	for r < length && s[r] == s[mid] {
		r++
	}
	for l >= 0 && r < length && s[l] == s[r] {
		l--
		r++
	}
	return s[l+1:r]
}

func longestPalindrome(s string) string {
	length := len(s)
	longest := string(s[0])
	for i := 0; i < length -1; i++  {
		if len(l2rHelper(s, i)) > len(longest) {
			longest = l2rHelper(s, i)
		}
	}
	return longest
}

• 时间复杂度：对于给定中心，找出最长回文子串的复杂度为\(O(n)\)；总的复杂度为\(O(n^2)\).
• 空间复杂度：\(O(1)\).

3. 参考资料

[1] programcreek, Leetcode – Longest Palindromic Substring (Java).
[2] GeeksforGeeks, Longest Palindromic Substring | Set 1.