作者：Grey
要解決的問題
求一個字符串最長回文子串是什么。且時間復雜度
O(N)
具體描述可參考：
暴力解法
以每個字符為中心向左右兩邊擴，直到擴不動為止，記錄下每個字符對應能擴的范圍大小。因為有每個位置左右兩邊能擴的最大范圍，我們可以很方便還原出最長回文子串是什么。
比如：AB1234321CD 這個字符串，以4字符為中心向左右兩邊能擴的位置最大，1234321 為最長回文子串。
如上解法有個問題，即針對類似1ABBA2這樣的字符串，如上算法會錯過最長回文子串ABBA, 因為ABBA不是以任何一個字符串向左右兩邊擴散得到的。所以，需要預處理一下原始字符串，預處理的方式如下：
在字符串的每兩個位置之間插入一個特殊字符，變成一個預處理后的字符串，比如我們可以以#作為特殊字符（特殊字符選哪個無所謂，不必非要是原始串中不含有的字符），將1ABBA2這個字符串預處理成1#A#B#B#A#2，用預處理串來跑這個暴力解法，會得到#A#B#B#A#這個是預處理串的最長回文子串，我們可以很方便把這個串還原成原始串的最長回文子串。
暴力解法時間復雜度為O(N^2)。
暴力方法的示例代碼如下：
public class LeetCode_0005_LongestPalindromicSubstring {
// 暴力解法
public static String longestPalindrome1(String s) {
if (s.length() == 1) {
return s;
}
char[] str = s.toCharArray();
char[] mStr = manacherStr(str);
int max = 1; // 最大回文長度至少是1
int lM = 0; // 記錄最長回文的左邊界的上一個位置
int rM = 0; // 記錄最長回文的有邊界的下一個位置
for (int i = 1; i < mStr.length; i++) {
int curMax = 1; // 當前的最大回文長度至少是1
int l = i - 1;
int r = i + 1;
while (l >= 0 && r < mStr.length) {
if (mStr[l] == mStr[r]) {
// 暴力擴充
l--;
r++;
} else {
break;
}
}
curMax = r - l - 1;
if (curMax > max) {
// 當前最長回文長度已經超過了max了
// 更新中心值
// 更新max值
max = curMax;
lM = l;
rM = r;
}
}
StringBuilder sb = new StringBuilder();
for (int i = lM + 2; i < rM; i += 2) {
sb.append(mStr[i]);
}
return sb.toString();
}
public static char[] manacherStr(char[] str) {
final char c = '#';
char[] mStr = new char[(str.length << 1) | 1];
mStr[0] = c;
mStr[1] = str[0];
int index = 1;
for (int i = 2; i < mStr.length; i++) {
if ((i & 1) != 1) {
mStr[i] = c;
} else {
mStr[i] = str[index++];
}
}
return mStr;
}
}
Manacher算法
Manacher算法可以用O(N)時間復雜度解決這個問題。同樣的，Manacher算法也需要對原始字符串進行上述的預處理過程。
相關變量說明
pArr
一個整型數組，長度和預處理串一樣，存每個位置的最長回文半徑是多少。
比如#A#B#B#A#這個字符串，
位於數組2號位置的A的回文半徑是A#或者#A, 長度為2，則pArr[2] = 2，
位於數組4號位置的#的回文半徑是#B#A#或者#A#B#, 長度為5， 則pArr[4] = 5
其他位置以此類推。
通過pArr的定義，我們顯然可以得到如下結論
pArr[0] = 1
i
整型，當前遍歷到的位置，因為
pArr[0]=1, 所以i可以從1開始遍歷。
r
整型，回文最右邊界，只要某個位置能擴到超過這個位置，就更新r這個值，初始值為0，因為一個字符串回文字符串至少是1，可以以第0個字符為中心且以0為最右邊界(即：第0個字符本身作為一個回文串)
c
整型，就是擴到r位置的的中心點，即
pArr[c] = r - c + 1，初始值為0，與r的初始值定為0一樣的考慮。
流程
考慮i, r, c三個變量之間的位置關系，無非有以下兩種情況
情況1. i在r外，比如初始狀態下：i=1, r,c = 0
情況2. i在r內或者i==r
關於情況1，流程如暴力解法一樣，以i位置為中心，左右兩邊擴到不能再擴的位置，更新pArr[i]，c, r的值。
關於情況2，我們假設i'為i關於c對稱的點，r'為r關於c對稱的點，示例圖如下：
細分如下幾種情況：
情況2-1
i'自己的回文區域都在[r'...r]內。
例如下圖中[6...10]為i'的最長回文區域，左邊界並未超過r'
由此可以推出，由於i位置和i'位置是關於c位置對稱的，則i位置的回文區域至少包括[14...19]這一段，如下圖
即pArr[i']至少等於pArr[i]，接下來考慮i能否繼續擴散，即考慮19位置的值是否等於13位置的值，
我們可以假設19位置的值和13位置的值相等，同時，有如下兩個顯而易見的結論
-
19位置的值等於5位置的值。 -
13位置的值等於11位置的值。
推出5位置的值和11位置的值相等，那么由於我們前面假設i'只能擴散到最左6位置以及最右10位置，所以，推出的結論和我們的假設矛盾，所以，19位置的值不等於13位置的值
所以情況2-1的結論是：i的最長回文區域長度和i'的答案一樣, 即：pArr[i'] = pArr[i]
情況2-2
i'自己的回文區域在[r'...r]外
如下圖
其中[2...14]范圍是以i'為中心的最長回文區域。
在情況2-2下，我們可以得到如下幾個結論：
-
根據
i和i'的關系，以i為中心，從[13...19]至少是回文的。 -
根據
i'的回文區域，12位置的值等於4位置的值，以c為中心，4位置的值又等於20位置的值，所以12位置的值等於20位置的值，即以i為中心，最長回文區域還可以擴展到[12...20]。 -
根據
i'的回文區域，13位置的值等於3位置的值，以c為中心，13位置的值又等於11位置的值，3位置的值等於21位置上的值，所以11位置的值等於21位置的值，即以i為中心，最長回文區域還可以擴展到[11...21]。 -
繼續判斷以
i為中心，是否可以繼續擴散，即要繼續判斷10位置的值是否等於22位置的值，我們假設10位置的值等於22位置的值，以c為中心，10位置的值等於14位置的值，以i'為中心，14位置的值等於2位置的值，所以10位置的值等於2位置的值，根據我們的假設，2位置的值會等於22位置的值。這個與我們的前提矛盾了，因為我們的前提是c只能擴展到[3...21]這個區域，即：2位置的值不可能等於22位置的值，所以我們的假設不成立，所以10位置的值不等於22位置的值。
所以，情況2-2的結論是：i到r的距離就是i的回文半徑，即：pArr[i] = r - i + 1
情況2-3
i'自己的回文區域左邊界和r'壓線
如下圖
其中[3...13]區域為以i'為中心能擴的最大回文區域。
有了情況2-2的鋪墊，i在情況2-3條件下至少可以擴充的范圍是[11...21], 但是接下來是否可以繼續擴充，還需要逐個判斷。
自此，所有情況考慮完畢。
由於i在遍歷過程中，始終不回退，所以，Manacher算法時間復雜度O(N)
完整代碼
public class LeetCode_0005_LongestPalindromicSubstring {
public static String longestPalindrome(String s) {
if (s == null || s.length() <= 1) {
return s;
}
char[] str = s.toCharArray();
char[] strs = manacherStr(str);
int[] pArr = new int[strs.length];
int c = 0;
int r = 0;
int i = 1;
int len = strs.length;
int max = 1;
while (i < len) {
// pArr[i] 至少不需要擴的大小
pArr[i] = i < r ? Math.min(r - i, pArr[c - (i - c)]) : 1;
// 暴力擴
while (i + pArr[i] < len && i - pArr[i] >= 0) {
if (strs[i + pArr[i]] == strs[i - pArr[i]]) {
pArr[i]++;
} else {
break;
}
}
// 擴散的位置能否更新回文有邊界R
// 如果可以更新，則更新R，且把C置於當前的i，因為是當前的i讓回文右邊界擴散的
if (i + pArr[i] > r) {
r = i + pArr[i];
c = i;
}
max = Math.max(pArr[i++], max);
}
// 定位最大回文有邊界的回文中心是哪個
int n = 0;
for (; n < len; n++) {
if (pArr[n] == max) {
break;
}
}
// 構造最大回文子串
StringBuilder sb = new StringBuilder();
for (i = n - max + 2; i < n + max; i += 2) {
sb.append(strs[i]);
}
return sb.toString();
}
public static char[] manacherStr(char[] str) {
char[] strs = new char[str.length << 1 | 1];
for (int i = 0; i < strs.length; i++) {
strs[i] = ((i & 1) == 1) ? str[i >> 1] : '#';
}
return strs;
}
}
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