最近做Nvidia AI city challenge track1遇到了一個calibration問題，感覺跟仿射映射有點關系，但是感覺線代基本都不怎么記得了Orz。。。。 於是復習了一下仿射映射有關知識，現整理於此。
知識均來自於xnh老師講授。
首先列幾個定義與定理，從而使我后文敘述方便：
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定義1：設A是域K上的仿射空間，其關聯的向量空間是V，稱映射A——》K是仿射線性函數如果
其中Df屬於V*是V上的線性函數。可稱它是f是線性部分或微分。仿射空間上的常值函數是線性部分為0的仿射線性函數。
注意：我這篇文章里討論的仿射空間都是歐幾里得仿射空間。即關聯的向量空間V是歐幾里得向量空間，度量記為 。
定義2：雙射f：E——>E稱為E的保距映射如果它保持距離，即對任意p,q屬於E，有
定理1：內積空間V上的線性算子A是保距的當且僅當它保持內積：
，從而當且僅當 
。
定義3：歐氏空間上的線性算子A稱為正交算子如果 
。
（
在這里代表的是矩陣A的共軛轉置，由於我們討論的是歐氏空間，實際上就是矩陣A的轉置，
是恆等變換）
定理2：映射f E-->E是運動，當且僅當，f是仿射變換且其線性部分是正交算子。
定理3：對任何的保距映射f，存在唯一確定的平面
（稱之為保距映射f的軸）使得
（1）
且 
是平移（可能是平凡的，即等於恆等變換，或 
是一個點）。
（2）Df不固定任何 
中的非零元。
------------------------------數學語言與任氏猿語的分割線---------------------
-----------------------------精確嚴謹與胡言亂語的分割線-----------
一、一些理解
我覺得吧，一般的空間變換，其實分為兩個部分，一個部分是平移（可以理解為移動坐標系的原點），對應f（p0），一個部分是伸縮旋轉反射之類保持原點不動的變換----這部分實際上就是一個矩陣（注意零向量乘以一個矩陣肯定還是一個零向量，所以矩陣不可能移動原點）。
所謂的保距映射，是一種特殊情況，就是對於任意兩個點，實施變換后兩點的距離不變的映射，放在生活的中典型例子就是剛體運動，無論門怎么旋轉，門上兩塊木頭的距離不變，一個鐵球管你怎么拋，無論它在天上怎么飛呀飛轉啊轉的，鐵球內部兩點間的距離可以認為是沒有變化的。就是生活中所有很硬的沒有彈性的東西的運動啦。反之，搓圓捏扁這種變換就不屬於我這篇文章討論的范疇。
由定理1，所有這樣的保距映射的Df所對應的矩陣為正交矩陣，行列式為正負1.反過來也成立，當且僅當。
（注！：這個1大致上是指你所采取的單位制下的1，准確的說是仿射空間A所關聯的向量空間V的基域K的單位元。。。mmp數學真的不講人話）
為啥由定理1可以知道對應矩陣為正交矩陣，行列式為正負1呢？我一直覺着矩陣實際上就是代表着保持原點不動的n維空間變換，在保距的限制下，伸縮變換被排除了，那么這個矩陣代表的就是旋轉與反射的復合。這個定理說的就是，一個保距的矩陣，先實施一次這個矩陣所代表的變換，再來一次這個矩陣的轉置代表的變換，可以變回來。比如
代表順時針旋轉 
，這個矩陣的轉置 
代表逆時針旋轉
，顯然它們的合成是不變。
又一個矩陣的行列式跟它的轉置矩陣的行列式相等，於是A的行列式的平方等於1，得到解為正負1.
其次關注一下所謂的軸。我理解里實質就是特征值為1的特征子空間。在生活中的典型例子應該是轉軸，這里仿射幾何定義的軸就是在保距映射f的變換下不變的n維空間，廣義上的軸。它可以是個點，是條直線，是個三維空間，或更高維的空間。
順便提一下，三維歐幾里得空間的剛體運動如果有不動點，那一定是旋轉，旋轉軸是由運動的不動點形成的直線，而且，任何物體的移動都可以通過先沿着一個方向平移，后繞某條直線旋轉來實現，也可以先旋轉，后平移。
二、三維歐幾里得空間下的保距映射
我們可以用軸來分析一下三維歐幾里得空間的保距映射。
保距映射 f可表示為
O為原來的原點，o+v為新原點，這部分是平移。設F的矩陣為A。
前面已經說明了，A必然是一個正交矩陣，行列式為1,n*n的正交矩陣雖然未必能對角化，但是可以化成標准形式：
（I代表的是單位矩陣，
就是一個l*l，對角線上全是1的矩陣）
因為軸就是特征值為1的特征子空間，所以軸的維數就是A的標准形式中l的數量。也即(A-E)X=0的解空間的維數。
以軸的維數為分類標准我們可以分類討論一下三維歐幾里得空間下f可能表示的變換：
若軸的維數為3，即l=3，那么A對空間是一個恆等變換，f是一個將原點從o移動到o+v的平移。
若軸的維數為2，即l=2，,這時剩下的一個位置只可能是一個-1，所以軸是一個平面，f是通過這個平面的反射，或是一個滑動反射，即過這個平面的反射和一個平移的合成。
若軸的維數為1，即l=1，剩下兩個位置是 ，這時軸是一條直線，f是繞直線的旋轉，f是螺旋運動（一個繞直線的旋轉與一個平移的合成）
若軸的維數為0，即l=0，這時軸是一個點，剩下三個位置可以是一個 和一個-1，這時f是鏡像旋轉，即繞一條直線的旋轉與過一個平面的反射的合成，這個平面和這條直線垂直且交於軸點。
三、歐幾里得空間上的仿射變換直觀的幾何意義
定理：歐幾里得空間（E，V）的仿射變換f是四個變換的合成：
- 平移
- 繞某個點o的旋轉
- 以o為原點的一個直角坐標系的各個軸方向做伸縮
- 一個過含o的平面的反射（如果這個仿射變換的Df的行列式為負）
證明：
首先仿射變換f可以分解為$f= t_vg$,其中$t_v$是一個平移，而g是一個保持某個點o不動的變換。
由極分解可知Dg可以分解為一個保距算子和一個正定算子的乘積（另開一帖證明），於是記Dg= DH ，其中D是保距的，H是正定的。
由於H是正定的，從而是自伴隨的，在對應基下的矩陣是實對稱的，實對稱矩陣可對角化（另開一帖證明），從而在以o為原點的某個直角坐標系下有：
H$e_i$ = $lamdai ei$
此為在各個軸方向做伸縮。
保距算子D的幾何意義在上一節中已經分析過了，雖然上一節中分析的是三維情況下的，但是高維情況下是類似的。
大致就是這樣。